Задача М81 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условие задачи (1971, № 5) Задача М81 // Квант. — 1971. — № 5. — Стр. 30; 1972. — № 1. — Стр. 42.

Внутри квадрата $A_1 A_2 A_3 A_4$‍‍ взята произвольная точка $P$‍.‍ Из вершины $A_1$‍,‍ опущен перпендикуляр на прямую $A_2P$‍,‍ из вершины $A_2$‍‍ — на $A_3P$‍,‍ из $A_3$‍‍ — на $A_4P$‍,‍ из $A_4$‍‍ — на $A_1P$‍.‍ Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

А. Н. Виленкин

Открыть в номере

Изображения страниц

‍

Скачать PDF

Решение задачи (1972, № 1) Задача М81 // Квант. — 1971. — № 5. — Стр. 30; 1972. — № 1. — Стр. 42.

Повернём квадрат (рис. 7) вокруг его центра на $90^\circ$‍‍ так, чтобы вершина $A_2$‍‍ перешла в $A_1$‍,‍ $A_3$‍‍ — в $A_2$‍,‍ $A_4$‍‍ — в $A_3$‍‍ и $A_1$‍‍ — в $A_4$‍.‍ Тогда каждая из прямых $A_2P$‍,‍ $A_3P$‍,‍ $A_4P$‍,‍ $A_1P$‍‍ перейдёт в соответствующий перпендикуляр (ведь она повернётся на $90^\circ$‍!),‍ поэтому ясно, что все четыре перпендикуляра пройдут через одну точку $P'$‍,‍ в которую переходит при повороте точка $P$‍.‍

Н. Б. Васильев

Открыть в номере

Метаданные Задача М81 // Квант. — 1971. — № 5. — Стр. 30; 1972. — № 1. — Стр. 42.

Предмет

Математика

Условие

Виленкин А. Н.

Решение

Васильев Н. Б.

Номера

1971. — № 5. — Стр. 30 [условие]

1972. — № 1. — Стр. 42 [решение]

Описание

Задача М81 // Квант. — 1971. — № 5. — Стр. 30; 1972. — № 1. — Стр. 42.

Ссылка

https://www.kvant.digital/problems/m81/