Задача М82‍‍

Наиболее бесхитростное доказательство — индукцией по числу $n$‍‍ автомашин — проводится так. Случай $n=1$‍‍ очевиден. Предположим, что для $n$‍‍ машин утверждение доказано. Пусть машин $n+1$‍.‍ Тогда среди них найдётся такая машина $A$‍,‍ которая может, пользуясь лишь имеющимся в ней бензином, доехать до следующей машины $B$‍‍ (это легко доказывается «от противного»). Выльем из машины $B$‍‍ бензин в $A$‍‍ и уберём $B$‍‍ с дороги. Среди оставшихся $n$‍‍ машин, по предположению индукции, найдётся такая, которая может объехать всю дорогу, забирая по пути бензин у остальных автомашин. Ясно, что та же машина может сделать это и в первоначальной ситуации, когда на дороге $n+1$‍‍ машин: на участке от $A$‍‍ до $B$‍‍ у неё заведомо хватит бензина (из машины $A$‍),‍ а на остальных участках у неё ровно столько же бензина, сколько в случае $n$‍‍ машин.

Многие читатели заметили, что задача сводится к такой: по окружности выписано $n$‍‍ чисел, сумма которых положительна; тогда найдётся такое число, что оно само положительно, сумма его со следующим положительна, сумма его со следующими двумя положительна и т. д. до суммы $n-1$‍‍ чисел. (Достаточно около каждой машины написать число, равное разности между количеством имеющегося в ней бензина и количеством бензина, который нужен, чтобы доехать до следующей машины.) Эту задачу большинство читателей решали методом, описанным в книжке «Математические соревнования», ч. 1‍, задачи 76‍—‍77.