«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Один треугольник лежит внутри другого. Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.
Найдите все многочлены $f(x)$ такие, что для каждого натурального числа $n$ уравнение $f(x)=n$ имеет хотя бы один:
Докажите, что количество целочисленных решений неравенства $$|x_1|+|x_2|+\ldots+|x_k|\le n$$ равно количеству целочисленных решений неравенства $$|x_1|+|x_2|+\ldots+|x_n|\le k$$ для любых натуральных $n$ и $k$.
Пусть $a$, $b$, $c$ — натуральные взаимно простые в совокупности числа и $$ D_n=\gcd(a+b+c{,}~a^2+b^2+c^2{,}~a^n+b^n+c^n). $$
Треугольник $ABC$ вписан в окружность. На дуге $AC$ (не содержащей $B$) взяты точки $A'$ и $C'$ так, что $AC\parallel A'C'$. Отрезки $BA'$ и $BC'$ пересекают отрезок $AC$ в точках…
Пусть даны точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ и $C_1$, $C_2$, лежащие на одной окружности, а также некоторая окружность $\omega$. Через точки $A_1$ и $A_2$ проведём две окружности,…
Пусть $P=A_1A_2\ldots A_k$ — выпуклый многоугольник на плоскости. Вершины $A_1$, $A_1$, $\ldots$, $A_k$ имеют целые координаты и лежат на одной окружности. Обозначим через $S$ площадь многоугольника $P$. Нечётное…
Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники. Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.
На плоскости расположено нечётное количество городов так, что все попарные расстояния между ними различны. Некоторые пары городов соединены (двусторонними) авиарейсами. Оказалось, что из каждого города выходят ровно два авиарейса, причём это рейсы в два наиболее удалённых города. Докажите, что,…
Доска $8\times8$ разрезана на доминошки (прямоугольники $1\times2$ и $2\times1$).