«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Окружности $s_1$ и $s_2$ пересекаются в точках $K$, $M$. Через точку $K$ проведены касательные к $s_2$ и $s_1$, которые вторично пересекают $s_1$ и $s_2$ в точках…
Дан клетчатый прямоугольник $6\times N$ ($N\ge3$), в котором изначально все клетки покрашены синим. За один ход можно покрасить в красный цвет все единичные квадратики некоторого клетчатого квадрата $2\times2$, в котором есть хотя бы три синие клетки (в процессе некоторые…
Решите в целых числах уравнение $x^3+y^3+6xy=8$.
Один треугольник лежит внутри другого. Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.
Найдите все многочлены $f(x)$ такие, что для каждого натурального числа $n$ уравнение $f(x)=n$ имеет хотя бы один:
Докажите, что количество целочисленных решений неравенства $$|x_1|+|x_2|+\ldots+|x_k|\le n$$ равно количеству целочисленных решений неравенства $$|x_1|+|x_2|+\ldots+|x_n|\le k$$ для любых натуральных $n$ и $k$.
Пусть $a$, $b$, $c$ — натуральные взаимно простые в совокупности числа и $$ D_n=\gcd(a+b+c{,}~a^2+b^2+c^2{,}~a^n+b^n+c^n). $$
Треугольник $ABC$ вписан в окружность. На дуге $AC$ (не содержащей $B$) взяты точки $A'$ и $C'$ так, что $AC\parallel A'C'$. Отрезки $BA'$ и $BC'$ пересекают отрезок $AC$ в точках…
Пусть $P=A_1A_2\ldots A_k$ — выпуклый многоугольник на плоскости. Вершины $A_1$, $A_1$, $\ldots$, $A_k$ имеют целые координаты и лежат на одной окружности. Обозначим через $S$ площадь многоугольника $P$. Нечётное…