Задачи, стр. 13 // Архив журнала «Квант»

Задача М75
а) Доказать, что в любом выпуклом многограннике сумма длин всех ребер больше утроенного диаметра. (Диаметром многогранника называется наибольшая из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)

б) Доказать, что для любых двух вершин $A$‍‍ и…
Задача М76
В компании из $n$‍‍ человек каждые двое незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые двое знакомых не имеют больше общих знакомых. Докажите, что в этой компании каждый знаком с одинаковым числом людей.
Задача М77
Длины двух сторон треугольника 10 и 15. Докажите, что биссектриса угла между ними не больше 12.
Задача М78
Докажите, что каждое целое неотрицательное число можно представимо в виде $$ \frac{(x+y)^2+3x+y}{2}, $$ где $x$‍‍ и $y$‍‍ — целые неотрицательные числа, и что такое представление единственно.
Задача М79
Две точки $P$‍‍ и $Q$‍‍ движутся по двум пересекающимся прямым с одинаковой постоянной скоростью $v$‍.‍ Докажите, что на плоскости существует такая неподвижная точка $A$‍,‍ расстояния от которой до точек $P$‍‍ и $Q$‍‍ в…
Задача М80
В таблице $m\times n$‍‍ расставлены произвольные числа. Разрешается одновременно изменить знак у всех чисел какого-то одного столбца или у всех чисел какой-то одной строки. Докажите, что, повторив такую операцию несколько раз, можно получить таблицу, у которой сумма чисел в любом столбце и…
Задача М81
Внутри квадрата $A_1 A_2 A_3 A_4$‍‍ взята произвольная точка $P$‍.‍ Из вершины $A_1$‍,‍ опущен перпендикуляр на прямую $A_2P$‍,‍ из вершины $A_2$‍‍ — на $A_3P$‍,‍ из $A_3$‍‍ — на $A_4P$‍,‍ из $A_4$‍‍ — на…
Задача М82
На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Известно, что если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из машин, стоящих на дороге,…
Задача М83
Докажите, что числа 1, 2, ..., $n$‍‍ ни при каком $n$‍‍ нельзя разбить нa две группы так, чтобы произведение чисел в одной группе равнялось произведению чисел в другой.
Задача М84
Пусть $A$‍‍ — основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую $l$‍.‍

На этой прямой взяты еще две точки $B$‍‍ и $C$‍‍ так, что $AB+AC$‍.‍

Через точки $B$‍‍ и…

Задачник «Кванта»‍1451