«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Сначала на тарелке лежат 75 конфет. Петя и Вася по очереди берут из тарелки любое натуральное количество конфет до тех пор, пока конфет на тарелке не останется. Начинает Петя. При каком наименьшем $k$ Петя может играть так, чтобы гарантировать, что в конце игры количества конфет у…
Можно ли 2026 чисел $1+\sqrt{2}$, $1+2\sqrt{2}$, $\ldots$, $1+2026\sqrt{2}$, разбить на две непустые группы так, чтобы произведения чисел в группах имели одинаковую дробную часть?
Остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$, а его высоты пересекаются в точке $H$. Касательные к окружности ($BHC$) в точке $B$, к окружности ($AHB$) в точке $A$ и…
Пусть $n$ — нечётное натуральное число. Дана таблица $n\times n$. Расстоянием между двумя клетками таблицы назовём наименьшее число шагов, за которое можно добраться от одной клетки до другой, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетку. Пусть…
На координатной плоскости вершины выпуклого четырёхугольника имеют целые координаты и лежат на графике многочлена с целыми коэффициентами. Докажите, что если диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны, то они равны между собой.
Дан треугольник с различными натуральными длинами сторон $a$, $b$ и $c$. Докажите, что хотя бы одно из чисел $ab+1$, $bc+1$ и $ca+1$ не является полным квадратом.
Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$ (см. рисунок). Пусть $K$ — точка на окружности ($ABC$), диаметрально противоположная точке…
В музее есть 82 монеты. Все они весят одинаково, за исключением одной фальшивой — она легче остальных. В городе живут три сертифицированных эксперта. Каждому из них утром можно принести две группы из равного количества монет, чтобы он их взвесил. Вечером эксперт сообщает своё заключение: либо…
Дан правильный 111-угольник, длина стороны которого равна 1. Докажите, что в нём найдутся две диагонали, длины которых отличаются на 1.