Две точки $P$ и $Q$ движутся по двум пересекающимся прямым с одинаковой постоянной скоростью $v$. Докажите, что на плоскости существует такая неподвижная точка $A$, расстояния от которой до точек $P$ и $Q$ в любой момент времени равны.
Пусть $O$ — точка пересечения данных прямых; $P_0$ и $Q_0$ — положения точек в тот момент времени $t_0$, когда они находятся на одинаковом расстоянии от точки $O$ ($t_0$ находится ровно посередине между моментами времени, когда одна и другая точки проходят через точку $O$); $A$ — точка пересечения перпендикуляров к данным прямым, восставленных соответственно в точках $P_0$ и $Q_0$. Докажем, что точка $A$ — та самая неподвижная точка, существование которой утверждается в условии.
Рис. 6
Частный случай, когда точки $P_0$, $Q_0$ (и $A$) совпадают с $O$, очевиден. В общем случае (рис. 6) ясно, что треугольники $AP_0O$ и $AQ_0O$ равны, поэтому $AP_0=AQ_0$. Пусть $P$ и $Q$ — положения точек в произвольный момент времени $t$ (отличный от $t_0$). Тогда $PP_0=QQ_0$, (точки движутся с одинаковой скоростью), треугольники $PP_0A$ и $QQ_0A$ равны по двум катетам, следовательно, $AP=AQ$.
Из нашего решения видно, что на самом деле верно более сильное утверждение, чем равенство расстояний от точки $A$ до соответствующих друг другу точек $P$ и $Q$: если повернуть одну из данных прямых вокруг точки $A$ (на угол $P_0AQ_0$) так, чтобы она совпала с другой, то в любой момент времени точка $P$ совпадает с соответствующей точкой $Q$.
