«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что если $a_1$, $a_2$, ..., $a_m$ — попарно различные натуральные числа, ни одно из которых не делится на квадрат целого числа, большего единицы, а $b_1$, $b_2$, ..., $b_m$ — целые числа, отличные от нуля,…
Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размера $2 \times 2$ и $1 \times 4$. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку $2 \times 2$. Вместо неё удалось достать плитку $1 \times 4$. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
Докажите, что если три окружности одинакового радиуса проходят через одну точку, то три другие точки попарного пересечения этих окружностей лежат на окружности того же радиуса (рис. 1).
Какому условию должны удовлетворять коэффициенты $a$, $b$, $c$ уравнения $x^3+ax^2+bx+c=0$, чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?
Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать такие три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлюший данный многоугольник. (Например, на рисунке 2, где многоугольник обведён чёрной линией, три красные прямые удовлетворяют…
Докажите, что если $x_1 \lt x_2 \lt x_3 \lt \ldots$ — натуральные числа, то $$ \frac{\sqrt{x_2-x_1}}{x_2} + \frac{\sqrt{x_3-x_2}}{x_3}+ \ldots + \frac{\sqrt{x_n-x_{n-1}}}{x_n} \lt 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n^2-1}+\frac{1}{n^2}. $$
Двое играют в «крестики» и «нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в любую свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считается любая,…
Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом строго придерживаться такого распорядка: каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий — ездить в магазин за продуктами и каждый пятый день решать задачи по математике. (В первый день Петя…
Каждое из чисел $x_1$, ..., $x_n$ равно плюс или минус единице. Известно, что $$ x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_n+x_nx_1=0. $$ Докажите, что $n$ делится на 4.
Докажите, что не существует многогранника, у которого к каждой вершине и к каждой грани примыкает не менее чем по четыре ребра.