«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AB=a$ и $CD=b$ проведён отрезок $A_1B_1$, соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции $A_1B_1CD$ снова проведён отрезок $A_2B_2$, соединяющий середины диагоналей, и так далее (рис. 1). Может…
Докажите, что в таблице $$ \begin{array}{ccccccccc} & & & &1\\ & & &1&1&1\\ & &1&2&3&2&1\\ &1&3&6&7&6&3&1\\ .&.&.&.&.&.&.&.&., \end{array} $$ где каждое число равно сумме трёх, стоящих над ним, в каждой строке (начиная с третьей) есть чётное число. В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, делящееся на три?
В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ — наибольшая. Докажите, что для любой точки $M$ плоскости $AM + CM$ не меньше $BM$. В каких случаях возможно равенство?
Докажите, что сумма 45 чисел $$ \tg 1\deg + \tg 5\deg+\tg 9\deg+ \ldots +\tg 173\deg+\tg 177\deg $$ равна 45.
Текст задачи готовится
Доказать, что из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100.
Попробуйте обобщить эту задачу: докажите, что из любых $2n—1$ чисел можно выбрать $n$, сумма которых делится на $n$, где…
Вершины правильного $n$-угольника покрашены несколькими красками (каждая — одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника. Доказать, что среди этих многоугольников найдется два равных.
Доказать, что если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1.
Пять отрезков таковы, что из любых трёх можно составить треугольник. Доказать, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.
В треугольнике $ABC$ через середину $M$ стороны $BC$ и центр $O$ вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая $MO$, которая пересекает высоту $AH$ в точке $E$. Доказать, что…
Два равных между собой прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Доказать, что площадь общей части этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.
Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше $n$ цифр, разбиты на две группы. В первую группу входят все числа с нечётной суммой цифр, во вторую — с чётной суммой цифр. Доказать, что если $1\le k\lt n$, то сумма $k$-x степеней всех чисел…
На окружности выписаны в произвольном порядке четыре единицы и пять нулей. Затем в промежутке между двумя одинаковыми числами пишется единица, а между разными цифрами — нуль, а первоначальные цифры стираются. Доказать, что, сколько бы раз мы ни повторяли этот процесс, мы никогда не…
На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. На одной из них отмечена точка. Известно, что прямые являются биссектрисами некоторого треугольника, а отмеченная точка — одна из его вершин. Построить этот треугольник.
Имеется несколько гирь с весами 1 г, 2 г, 3 г, ..., $n$ г. Их надо разложить на три равные по весу кучки. При каких $n$ это удастся сделать?
Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на две группы так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одной и той же группы содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.
