Задача М96‍‍

Пусть $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $a_3$‍,‍ $a_4$‍,‍ $a_5$‍‍ — данные числа. Тогда $$(a_1+a_2+a_5-a_3-a_4)(a_1+a_3+a_4-a_2-a_5)=a_1^2-(a_2+a_5-a_3-a_4)^2\le a_1^2.$$

Аналогично доказывается, что $$ \begin{gather*} (a_2+a_3+a_1-a_4-a_5)(a_2+a_4+a_5-a_3-a_1)\le a_2^2,\\ (a_3+a_4+a_2-a_5-a_1)(a_3+a_5+a_1-a_4-a_2)\le a_3^2,\\ (a_4+a_5+a_3-a_1-a_2)(a_4+a_1+a_2-a_5-a_3)\le a_4^2,\\ (a_5+a_1+a_4-a_2-a_3)(a_5+a_2+a_3-a_1-a_4)\le a_5^2. \end{gather*} $$ Остаётся перемножить эти неравенства, и задача решена.

Докажите более общее утверждение: если даны $2n+1$‍‍ положительных чисел таких, что разность между суммой любых $n+1$‍‍ чисел и суммой $n$‍‍ остальных положительна, то произведение $B$‍‍ всех $C_{2n+1}^n$‍‍ таких разностей и произведение $A$‍‍ всех $2n+1$‍‍ данных чисел связаны неравенством $$ B^n\le A^{C_{2n}^{n-1}}. $$