В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ — наибольшая. Докажите, что для любой точки $M$ плоскости $AM + CM$ не меньше $BM$. В каких случаях возможно равенство?
Лемма («неравенство Птолемея»). Для любых четырёх точек $A$, $B$, $C$, $M$ на плоскости
$$
AC\cdot BM\le AB\cdot CM+BC\cdot AM.\tag1
$$
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда $ABCM$ — выпуклый вписанный четырёхугольник (или когда одно из слагаемых в правой части равно нулю из-за того, что некоторые две точки совпадают).
Рис. 8
Доказательство леммы. Выберем точку $P$ так, что $\angle BAP= \angle CAM$ и $\angle MAP=\angle CAB$, а $PA=\dfrac{AB\cdot AM}{AC}$ (рис. 8). Тогда $\triangle BAP\roundsim\triangle CAM$ (первый получается из второго сжатием в отношении $AB:AC$ и поворотом на угол $BAC$), а $\triangle MAP\roundsim\triangle CAB$ (первый получается из второго поворотом на угол $CAM$ и сжатием в отношении $AM:AC$). Теперь воспользуемся неравенством треугольника
$$
BM\le BP+PM.\tag2
$$
Поскольку $BP=\dfrac{AB}{AC}\cdot CM$ и $PM=BC\cdot\dfrac{AM}{AC}$, получаем (1). Равенство в (2) достигается, когда точка $P$ лежит на отрезке $BM$. Легко убедиться, что это будет только в том случае, когда четыре точки $A$, $B$, $C$, $M$ лежат на окружности (в указанном порядке, причём какие-то две соседние могут совпадать).
По поводу этого доказательства могут возникать такие сомнения: годится ли оно для любого расположения точек $A$, $B$, $C$, $M$ на плоскости, не зависит ли оно от особенностей рисунка 8? Проще всего рассеять их, записав решение аналитически с помощью комплексных чисел (см. статью З. А. Скопеца на стр. 36 и задачу 3 к ней на стр. 39).
Из леммы утверждение задачи выводится мгновенно: если $AB\le AC$ и $BC\le AC$, то
$$AC\cdot BM\le AB\cdot CM+BC\cdot AM\le AC\cdot CM+AC\cdot AM,$$
откуда
$$
BM\le AM+CM.
$$
Одновременно получаем, что равенство достигается в следующих случаях:
если треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC$ — боковая сторона) и точка $M$ лежит в его вершине;
если треугольник $ABC$ равносторонний и точка $M$ лежит на дуге $AC$ его описанной окружности, не содержащей точку $B$.
Уже перечисление случаев, когда достигается равенство, показывает, что прямое доказательство (без леммы) не может быть очень простым. Всё же такое решение, требующее очень внимательного перебора различных случаев расположения точки $M$, сумели получить некоторые читатели.
