Клумова И. Н. / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задачи по математике‍‍

Задача М263
Даны два числа $p$‍‍ и $q$‍,‍ большие 1. На сторонах $BC$‍‍ и $DC$‍‍ прямоугольника $ABCD$‍‍ берутся точки $P$‍‍ и $Q$‍‍ так, что $|BC|=p\cdot|BP|$‍‍ и $|DC|=q\cdot|DQ|$‍.‍ При каком отношении длин сторон…
Задача М264
В городе одна синяя площадь и $n$‍‍ зелёных, причём каждая зелёная площадь соединена улицами с синей и с двумя зелёными (рис. 3). На каждой из $2n$‍‍ улиц ввели одностороннее движение так, что на каждую площадь можно приехать и с каждой — уехать. Докажите, что…
Задача М267
В последовательности троек целых чисел (2, 3, 5), (6, 15, 10), $\ldots$‍‍ каждая тройка получается из предыдущей таким образом: первое число множится на второе, второе — на третье, а третье — на первое, и полученные произведения дают новую тройку.

Докажите, что ни одно из чисел,…
Задача М268
В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном), а второй — один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном). Так они ходят…
Задача М273
На отрезке $0 \le x \le 1$‍‍ задана функция $f$‍.‍ Известно, что эта функция неотрицательна и $f(1) = 1$‍.‍ Кроме того, для любых двух чисел $x_1$‍‍ и $x_2$‍‍ таких, что $x_1 \ge 0$‍,‍ $x_2 \ge 0$‍‍ и $x_1 + x_2 \le 1$‍,‍ выполнено…
Задача М274
Найдите наименьшее число вида
1. $|11^k - 5^l|$‍;‍
2. $|36^k - 5^l|$‍;‍
3. $|53^k - 37^l|$‍,‍
где $k$‍‍ и $l$‍‍ — натуральные числа.
Задача М277
Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбирается любая особая точка и перекрашивается в другой…
Задача М285
Прямоугольный лист бумаги размерами $a \times b$‍‍ разрезан на прямоугольные полоски, у каждой из которых одна сторона имеет длину 1. Докажите, что хотя бы одно из чисел $a$‍‍ и $b$‍‍ — целое.
Задача М305
1. На хордах $AB$‍‍ и $A'B'$‍‍ окружности выбрано по точке $C$‍‍ и $C'$‍‍ так, что три прямые $AA'$‍,‍ $BB'$‍‍ и $CC'$‍‍ пересекаются в одной точке $P$‍.‍ Введём обозначения:…
Задача М312
В параллелограмм $P_1$‍‍ вписан параллелограмм $P_2$‍,‍ в который в свою очередь вписан параллелограмм $P_3$‍,‍ причём стороны $P_3$‍‍ параллельны сторонам $P_1$‍.‍ Докажите, что хотя бы одна сторона параллелограмма $P_3$‍‍ по длине…
Задача М314
Среди всех 9-значных чисел, в десятичной записи которых нет цифры 0, найти такое, для которого разность между самим числом и произведением его цифр:
1. наименьшая;
2. наибольшая.
Каков будет ответ для $n$‍‍-значных…
Задача М342
1. Докажите, что из цифр 1 и 2 можно составить $2^{n+1}$‍‍ чисел, каждое из которых $2^{n}$‍‍-значно и каждые два из которых различаются не менее чем в $2^{n-1}$‍‍ разрядах.
2. Докажите, что больше чем $2^{n+1}$‍‍ таких…
Задача М349
Какому условию должны удовлетворять длины сторон треугольника, чтобы треугольник, составленный из
1. высот,
2. медиан,
3. биссектрис данного треугольника,
был подобен данному?
Задача М357
Докажите, что если $x+\dfrac1y=y+\dfrac1z=z+\dfrac1x$‍,‍ то $x=y=z$‍‍ или $x^2y^2z^2=1$‍.‍
Задача М358
Докажите, что у любого $n$‍‍-угольника ($n\ge 4$‍)‍ есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри $n$‍‍-угольника, и выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь $n$‍‍-угольник (при каждом $n$‍).‍
Задача М419
В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдётся кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежат не менее 10 из данных точек.
Задача М433
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$‍‍ сторона $BC$‍‍ параллельна диагонали $AD$‍,‍ сторона $CD$‍‍ — диагонали $BE$‍,‍ сторона $DE$‍‍ — диагонали $AC$‍‍ и сторона $AE$‍‍ — диагонали $BD$‍‍ (рис.…
Задача М445
Центры одинаковых непересекающихся окружностей находятся в центрах правильных шестиугольников, покрывающих плоскость так, как указано на рисунке 5. Пусть $M$‍‍ — многоугольник с вершинами в центрах окружностей. Окрасим в красный цвет те окружности или их. части (дуги),…
Задача М466
Среди 1977 монет 50 фальшивых. Каждая фальшивая монета отличается от настоящей на 1 г (в ту или другую сторону). Имеются чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс одной и другой чашки. За одно взвешивание про одну выбранную монету нужно узнать, фальшивая она или настоящая. Как это…
Задача М474
Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей (кроме самого себя); таковы, например, числа $6=1+2+3$‍‍ и $28=1+2+4+7+14$‍.‍ Докажите, что число $N$‍‍ несовершенно, если известно, что оно
1. при делении…
Задача М503
Набор из $2n+1$‍‍ чисел $a_0$‍,‍ $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_{2n}$‍‍ таков, что $a_k\ge\dfrac{a_{k-1}+a_{k+1}}2$‍‍ для всех $k=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍ $2n-1$‍.‍ Докажите неравенство $$ \dfrac{a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{2n-1}}n\ge\dfrac{a_0+a_1+a_2+\ldots+a_{2n}}{n+1}\tag{*} $$ и выясните, для каких…
Задача М527
Пусть $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_n$‍‍ — действительные числа, $0\le x_i\le1$‍.‍ Докажите, что величина $$ x_1+x_2+\ldots+x_{n-1}+x_n-x_1x_2-x_2x_3-\ldots-x_{n-1}x_n-x_nx_1 $$ не превосходит
1. 1 при $n=3$‍;‍
2. 2 при $n=4$‍;‍
Задача М546
Из произвольной точки $M$‍‍ окружности, описанной около прямоугольника, опустили перпендикуляры $MP$‍‍ и $MQ$‍‍ на две его противоположные стороны, и перпендикуляры $MR$‍‍ и $MT$‍‍ — на продолжения двух других сторон. Докажите, что…
Задача М581
1. Существует ли трёхзначное число, куб которого оканчивается на три семёрки?
2. Для любого ли набора цифр, последняя из которых — не 0, существует куб, оканчивающийся этим набором цифр?
Задача М582
В окружность с центром $O$‍‍ вписан четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями. Докажите, что расстояние от точки $O$‍‍ до каждой его стороны равно половине длины противоположной стороны.
Задача М592
Докажите, что для любого треугольника проекция диаметра описанной окружности, перпендикулярного одной стороне треугольника, на прямую, содержащую вторую сторону, равна по длине третьей стороне.
Задача М601
Докажите, что в любом треугольнике $ABC$‍‍ середина стороны $BC$‍‍ лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот треугольника $ABC$‍‍ с точкой окружности, описанной около этого треугольника, диаметрально противоположной вершине $A$‍,‍ и делит…
Задача М605
На плоскости отмечены $2n+1$‍‍ различных точек. Занумеруем их числами 1, 2, $\ldots$‍,‍ $2n+1$‍‍ и рассмотрим следующее преобразование $R$‍‍ плоскости: сначала делается симметрия относительно первой точки, затем — относительно второй и т. д. — до…
Задача М608
На клетчатой бумаге (сторона клетки 1) нарисован $n$‍‍-угольник, все стороны которого лежат на линиях сетки и имеют нечётную длину.
1. Докажите, что $n$‍‍ делится на 4.
2. Докажите, что…
Задача М612
Возрастающая последовательность натуральных чисел $(a_n)$‍‍ такова, что $a_{n+1}\le 10a_n$‍.‍ Докажите, что если все числа $a_n$‍‍ записать рядом (без пробелов и запятых), то полученная последовательность цифр не будет периодической.
Задача М614
Для каждого натурального $n$‍‍ через $S(n)$‍‍ обозначим сумму цифр всех натуральных чисел от 1 до $n$‍‍ (в десятичной записи): $$ \begin{gather*} S(1)=1,\quad S(2)=3,\quad S(3)=6,\quad \ldots,\quad S(9)=45,\\ S(10)=46,\quad S(11)=48,\quad S(12)=51,\quad \ldots \end{gather*} $$
1. Найдите $S(100)$‍.‍
2. Докажите, что $S(10^k-1)=45k\cdot10^{k-1}$‍‍…
Задача М620
Пусть $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_n$‍‍ — действительные числа такие, что $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$‍.‍ Докажите, что сумма модулей $2^n$‍‍ чисел $$ \pm x_1 \pm x_2 \pm \ldots \pm x_n $$ (со всевозможными комбинациями знаков «$+$‍‍» и «$-$‍‍») не…
Задача М647
Докажите, что при любых $a\ge\dfrac12$‍,‍ $b\ge\dfrac12$‍‍ справедливо неравенство $$ \left(\dfrac{a^2-b^2}{2}\right)^2\ge\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}-\dfrac{a+b}{2}. $$
Задача М691
Будем говорить, что число обладает свойством $(K)$‍,‍ если оно разлагается в произведение $K$‍‍ последовательных натуральных чисел, больших 1.
1. Найдите $K$‍‍ такое, для которого некоторое число $N$‍‍…
Задача М706
Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке 1 эти хорды показаны красным цветом), имеют одинаковые длины.
Задача М717
Даны натуральные числа $n$‍‍ и $r$‍,‍ $1\le r\le n$‍.‍ Рассмотрим всевозможные подмножества множества $\{1,2,\ldots,n\}$‍,‍ состоящие из $r$‍‍ чисел, и в каждом выберем наименьшее число. Докажите, что среднее арифметическое всех выбранных чисел равно…
Задача М718
Найдите наибольшее значение выражения $m^2+n^2$‍‍ для всевозможных пар $(m;n)$‍‍ натуральных чисел, таких что $1 \le m \le 1981$‍,‍ $1 \le n \le 1981$‍‍ и $|n^2-mn-m^2|=1$‍.‍

Клумова И. Н.‍37

Задачи по математике‍‍