В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдётся кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежат не менее 10 из данных точек.
Прежде чем решать эту задачу, докажем такое вспомогательное утверждение. Пусть фигура $S$ площади $s$ содержит фигуры $S_1$, $\ldots$, $S_l$ площади $s_1$, $\ldots$, $s_l$, такие, что каждая точка фигуры $S$ покрыта не более чем $k$ фигурами $S_i$. Тогда $\sum s_i=s_1+s_2+\ldots+s_l\le ks$. В самом деле, рассмотрим фигурки $T_j$, получающиеся при пересечении фигур $S_i$ (рис. 4); на каждой из фигурок $T_j$ напишем число, показывающее, скольким $S_i$ она принадлежит. Очевидно, что $\sum t_j\le s$ ($t_j$ — площадь фигурки $T_j$). С другой стороны, не менее очевидно, что $\sum s_i\le k\sum t_j$ ($k$ — максимально возможное число пересечений $S_i$). Отсюда получаем, что $\sum s_i\le ks$.
Вернёмся к нашей задаче.
Опишем вокруг каждой данной точки кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним 3; всего 650 колец. Докажем, что среди них обязательно найдётся не менее десяти пересекающихся.
Возьмём объединение этих 650 колец; они как-то расположены в круге радиуса $16+3=19$. Допустим, что каждая точка этого круга покрывается не более чем девятью кольцами, и покажем, что это приводит к противоречию. Для этого посчитаем площади.
Площадь круга радиуса 19 равна $S=361\pi$. Площадь одного кольца $s=5\pi$, так что площадь всех 650 колец равна $650\cdot5\pi=3250\pi$. Если кольца пересекаются не более чем по девять, то согласно утверждению, доказанному выше,
$$
\textstyle\sum s=3250\pi\le9\cdot361\pi=3249\pi
$$
— противоречие.
Итак, мы доказали, что найдётся не менее десяти пересекающихся колец.
Отсюда следует утверждение задачи. Действительно, если есть два пересекающихся кольца внутреннего радиуса 2 и внешнего 3 с центрами $O_1$ и $O_2$, то любая точка $M$, принадлежащая их пересечению, удалена от точек $O_1$ и $O_2$ на расстояние $\rho$: $2\le\rho\le3$; так что точки $O_1$ и $O_2$ попадают в нужное нам кольцо с центром $M$ (рис. 5). В кольце же (радиусов 2 и 3) с центром в любой точке из непустого (!) пересечения не менее десяти колец будет лежать не менее десяти данных точек — центров этих пересекающихся колец.
