В параллелограмм $P_1$ вписан параллелограмм $P_2$, в который в свою очередь вписан параллелограмм $P_3$, причём стороны $P_3$ параллельны сторонам $P_1$. Докажите, что хотя бы одна сторона параллелограмма $P_3$ по длине не меньше половины параллельной ей стороны $P_1$.
Заметим прежде всего, что если параллелограмм $ABCD$ вписан в параллелограмм $KLMN$ (см. рис. 2), то они имеют общий центр симметрии $O$. Это следует из того, что при симметрии относительно $O$ параллелограмм $KLMN$ переходит в себя, а сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ переходит в равный по длине и параллельный отрезок с концами на соответствующих сторонах параллелограмма $KLMN$, т. е. в отрезок $CD$.
Поэтому у параллелограммов $P_1$, $P_2$ и $P_3$ общий центр симметрии. Из этого получаем, что четыре закрашенных параллелограмма, расположенных в углах $K$, $L$, $M$ и $N$, конгруэнтны; обозначим длины их сторон соответственно через $x$ и $y$.
Пусть $a$ и $b$ — длины сторон параллелограмма $P_3$. Тогда длины сторон параллелограмма $P_1$ равны $a+2x$ и $b+2y$. Нам нужно доказать, что либо $a\ge\dfrac{a+2x}2$, либо $b\ge\dfrac{b+2y}2$, т. е. что либо $a\ge2x$, либо $b\ge2y$. Это будет так, если мы докажем такое неравенство: $ab\ge4xy$.
Рассмотрим параллелограмм, три вершины которого — точки $A$, $L$ и $B$. Поскольку диагональ $AB$ делит его и угловые параллелограммы — левый нижний и правый верхний — на конгруэнтные треугольники, то площади параллелограммов, закрашенных на рисунке 2 синим, равны. Точно так же равны площади параллелограммов, закрашенных жёлтым, красным и зелёным: все закрашенные параллелограммы равновелики. Очевидно (см. рисунок), что суммарная площадь закрашенных параллелограммов не превышает площади параллелограмма $P_3$. Но площадь одного закрашенного параллелограмма равна $xy\sin\alpha$, а площадь параллелограмма $P_3$ равна $ab\sin\alpha$; значит $ab\ge4xy$, что и требовалось.
