Докажите, что при любых $a\ge\dfrac12$, $b\ge\dfrac12$ справедливо неравенство
$$
\left(\dfrac{a^2-b^2}{2}\right)^2\ge\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}-\dfrac{a+b}{2}.
$$
Первое решение. Рассмотрим функцию $f(x)=x^2+\sqrt x$.
Вычислив её вторую производную $f''(x)=2-\dfrac14x^{-\frac{\scriptstyle3}{\scriptstyle2}}$, видим, что $f''(x)\ge0$ при $x\in\left[\dfrac14,+\infty\right)$. Отсюда следует, что на промежутке $\left[\dfrac14,+\infty\right)$ функция $f$ выпукла вниз (для интервала см. «Алгебра и начала анализа 10», п. 79); на рисунке изображён её график. Поэтому («Квант», 1980, №3, с. 21) для любых точек $x$, $y$ этого промежутка
$$
\dfrac{f(x)+f(y)}2\ge f\left(\dfrac{x+y}2\right).
$$
Применив последнее неравенство к точкам $a^2$, $b^2$, получим утверждение задачи.
Второе решение. Снова заменим $a^2$ на $x$ и $b^2$ на $y$. Рассмотрим функцию
$$
\phi(x,y)=\left(\dfrac{x-y}2\right)^2-\sqrt{\dfrac{x+y}2}+\dfrac{\sqrt{x\vphantom y}+\sqrt{y}}2.
$$
Будем считать, что $x\ge y\ge\dfrac14$, и исследуем функцию $\phi(x,y)$ на монотонность по $x$, считая переменную $y$ параметром.
$$
\begin{gather*}
\varphi'_x(x,y)=\dfrac{x-y}2-\dfrac1{2\sqrt{2(x+y)}}+\dfrac1{4\sqrt x}=\dfrac12\left(x-y+\dfrac{\sqrt{2(x+y)}-2\sqrt x}{2\sqrt x\cdot\sqrt{2(x+y)}}\right)=\\
=\dfrac{x-y}2\cdot\left(1-\dfrac1{\sqrt x\cdot\sqrt{2(x+y)}\cdot\bigl(\sqrt{2(x+y)}+2\sqrt x\bigr)} \right)\ge\dfrac{x-y}2\cdot\left(1-\dfrac1{\frac12\cdot1\cdot2}\right)=0,
\end{gather*}
$$
т. е. функция $\phi(x,y)$ — неубывающая функция по $x$. Поскольку при $x=y=\dfrac14$ функция $\varphi$ обращается в нуль, $\varphi(x,y)\ge0$ при $x\ge y\ge\dfrac14$, что даёт нам требуемое неравенство.
