Выведем общую формулу для $S(\overline{a_ka_{k-1}\ldots a_1})$. Представим эту сумму в виде $a_k+1$ слагаемых, отдельно вычислив её для чисел с $k$-м разрядом 0, 1, $\ldots$, $a_k-1$ и $a_k$ соответственно.
Первые $a_k$ слагаемых однотипны: в них на цифры, стоящие в меньших, чем $k$, разрядах, никаких ограничений не накладывается. Если $k$-й разряд равен $b$ (причём $0\le b\le a_k-1$), то сумма цифр всех таких чисел равна $10^{k-1}\cdot b+S(10^k-1)$ (вклад от $k$-й цифры и от остальных цифр соответственно). $(a_k+1)$-е же слагаемое (когда к $k$-м разряде стоит цифра $a_k$) выглядит так: $a_k\cdot(\overline{a_{k-1}\ldots a_1}+1)+S(\overline{a_{k-1}\ldots a_1})$ (снова вклад от $k$-й цифры и остальных разрядов соответственно).
Окончательно для $S(\overline{a_k\ldots a_1})$ получаем
$$
\begin{gather*}
S(\overline{a_k\ldots a_1})=a_k\cdot(\overline{a_{k-1}\ldots a_1}+1)+
S(\overline{a_{k-1}\ldots a_1})+10^{k-1}(0+1+\ldots+(a_k-1))+a_k\cdot
S(10^{k-1}-1)=\\
=a_k\cdot(\overline{a_{k-1}\ldots a_1}+1)+S(\overline{a_{k-1}\ldots a_1})+
5\cdot10^{k-2}a_k(a_k-1)+a_k\cdot S(10^{k-1}-1).
\end{gather*}
$$
Осталось вычислить $S(10^{k-1}-1)$. Если воспользоваться уже выведенной формулой, получим
$$
S(10^{k-1}-1)=9\cdot10^{k-2}+S(10^{k-2}-1)+5\cdot10^{k-3}\cdot9\cdot8+9\cdot S(10^{k-2}-1)=10\cdot S(10^{k-2}-1)+45\cdot10^{k-2}.
$$
Если считать уже доказанным, что $$
S(10^{k-2}-1)=45(k-2)\cdot10^{k-3},
$$
получим формулу
$$
S(10^{k-1}-1)=45(k-1)\cdot10^{k-2},
$$
поэтому достаточно доказать формулу п. б) для $k=1$.
Имеем $S(10-1)=45\cdot1\cdot10^0=45$ — формула верна. Итак, $S(10^k-1)=45\cdot10^{k-1}$ — мы доказали утверждение б) задачи.
Для двузначных чисел это даёт
$$
S(\overline{a_2a_1})=a_2(a_1+1)+S(a_1)+5a_2(a_2-1)+45a_2=a_2(5a_2+a_1+41)+\dfrac{a_1(a_1+1)}2
$$
— см. пункт в) задачи.
Для трёхзначных чисел
$$
\begin{gather*}
S(\overline{a_3a_2a_1})=a_3((\overline{a_2a_1}+1)+900+50(a_3-1))+S(\overline{a_2a_1})=\\
=a_3(50a_3+\overline{a_2a_1}+851)+a_2(5a_2+a_1+41)+\dfrac{a_1(a_1+1)}2.
\end{gather*}
$$
(В частности, $S(100)=901$.)
Наконец,
$$
S(1980)=980+1+45\cdot3\cdot10^2+S(980)=13\,500+981+9(450+80+851)+8(40+41)=27\,558.
$$
