а) Очевидно, у данного многоугольника горизонтальных сторон столько же, сколько вертикальных, потому что горизонтальные и вертикальные стороны чередуются. Значит, $n=2k$, где $k$ — число вертикальных (или горизонтальных) сторон. Так же очевидно, что сумма длин вертикальных сторон чётна, поскольку в результате мы «спускаемся вниз» на столько же, на сколько «поднимаемся вверх». Но длина каждого отрезка нечётна; значит, вертикальных сторон — чётное число, т. е. $k=2m$. Поэтому $n=4m$ делится на 4.
б) Введём систему координат так, чтобы оси $Ox$ и $Oy$ содержали самую нижнюю и самую левую сторону нашего $n$-угольника. Тогда координаты вершин нашего многоугольника будут равны
$$
(a_1;b_1),~(a_2;b_1),~(a_2;b_2),~(a_3;b_2),~(a_3;b_3),~{\ldots},~
(a_{2m-1};b_{2m-1}),~(a_{2m};b_{2m-1}),~(a_{2m};b_{2m}),~(a_1;b_{2m}),
$$
где $a_i$, $b_i$ — целые неотрицательные числа, причём все разности $a_{i+1}-a_i$, $b_{i+1}-b_i$ ($i=1$, 2, $\ldots$, $2m$) нечётны; здесь и ниже $a_{2m+1}=a_1$, $b_{2m+1}=b_1$. Нетрудно выразить через эти координаты и площадь $S$ многоугольника, представив её как сумму и разность площадей прямоугольников $|a_{i+1}-a_i|\times b_i$:
$$
S=\left|\textstyle\sum\limits_{i=1}^{2m}{}(a_{i+1}-a_i)b_i\right|.
$$
Поскольку все разности $a_{i+1}-a_i$ нечётны, сумма $S$ имеет ту же чётность, что и сумма $b_1+b_2+\ldots+b_{2m}$. Чётности чисел $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_{2m}$ чередуются (поскольку все разности $b_{i+1}-b_i$ нечётны), так что все $m$ сумм $b_1+b_2$, $b_3+b_4$, $\ldots$, $b_{2m-1}+b_{2m}$ нечётны. Итак, площадь $S$ $n$-угольника нечётна при $m$ нечётном (в частности, 100-угольника при $m=25$) и чётна при $m$ чётном.
