В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ сторона $BC$ параллельна диагонали $AD$, сторона $CD$ — диагонали $BE$, сторона $DE$ — диагонали $AC$ и сторона $AE$ — диагонали $BD$ (рис. 1). Докажите, что сторона $AB$ параллельна диагонали $CE$.
Пусть $F=[AD]\cap[BE]$, $G=[AC]\cap[BE]$ и $K=[BD]\cap[AC]$ (см. рис. 2).
Из подобия треугольников $AEF$ и $BCD$ следует, что $\dfrac{|AF|}{|EF|}=\dfrac{|BC|}{|CD|}$. Следовательно, $\dfrac{|AF|+ |BC|}{|EF|+|CD|}=\dfrac{|BC|}{|CD|}$ и $\dfrac{|AD|}{|BE|}=\dfrac{|BC|}{|CD|}$, поскольку $|BC|=|DF|$, $|BF|=|CD|$, т. е.
$$
\dfrac{|BC|}{|AD|}=\dfrac{|CD|}{|BE|}.\tag1
$$
Аналогично, из подобия треугольников $BKC$ и $AED$ получаем, что $$
\dfrac{|AE|}{|BD|}=\dfrac{|DE|}{|AC|}.\tag2
$$
Наконец, из подобия треугольников $BKG$ и $AGE$ $\dfrac{|BG|}{|BK|}=\dfrac{|CD|}{|AE|}$, откуда $\dfrac{|BE|}{|BD|}=\dfrac{|CD|}{|AE|}$, или $$
\dfrac{|CD|}{|BE|}=\dfrac{|AE|}{|BD|}.\tag3
$$
Из соотношений (1)—(3) следует, что $$
\dfrac{|BC|}{|AD|}=\dfrac{|CD|}{|BE|}=\dfrac{|AE|}{|BD|}=\dfrac{|DE|}{|AC|}=\lambda.\tag4
$$
Далее:
$$\begin{gather*}
\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0},\\
\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0},
\end{gather*}$$
и $\overrightarrow{BC}=\lambda\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{CD}=\lambda\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{DE}=\lambda\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{EA}=\lambda\overrightarrow{DB}$. Поэтому
$$
\overrightarrow{0}=\lambda(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB})+\overrightarrow{AB}=-\lambda\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{AB},
$$
откуда $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{EC}$, что и означает параллельность стороны $AB$ диагонали $EC$.
Более короткое решение получается с помощью косоугольной системы координат. Пусть точки $D$, $C$ и $E$ имеют координаты $D(0;0)$, $C(1;0)$, $E(0;1)$ (рис. 2). Тогда $A$ и $B$ имеют координаты $(1;a)$ и $(b;1)$, так как $(CD)\parallel(BE)$, $(DE)\parallel(AC)$. Условия параллельности $(AE)\parallel(BD)$ и $(BC)\parallel(AD)$ записываются так:
$$
\dfrac{a-1}{1-0}=\dfrac{1-0}{b-0}\quad\text{и}\quad\dfrac{1-0}{b-1}=\dfrac{a-0}{1-0},
$$
т. е. $b(a-1)=1$, $a(b-1)=1$, откуда $a=b$ и $\dfrac{a-1}{1-b}=\dfrac{1-0}{0-1}$, т. е. $(AB)\parallel(EC)$.
Заметим, что пятиугольник $ABCDE$, о котором идёт речь в этой задаче, можно аффинным преобразованием (или просто перекосом) превратить в правильный.
Заметим, что условие $BC\parallel AD$ можно записать в виде $S_{ABC}=S_{DBC}$. Аналогично, условия $CD\parallel BE$, $DE\parallel AC$ и $AE\parallel BD$ запишем в виде равенств $S_{DBC}=S_{DEC}$, $S_{DEC}=S_{DEA}$ и $S_{DEA}=S_{BEA}$. Таким образом,
$$
S_{ABC}=S_{DBC}=S_{DEC}=S_{DEA}=S_{BEA},
$$
откуда $S_{ABC}=S_{BEA}$. Т. е. $CE\parallel AB$, что и требовалось доказать.
