«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Дано уравнение $x^3-3xy^2+y^3=n$. Докажите, что
Дан неравнобедренный треугольник $A_1A_2A_3$. Пусть $a_i$ — его сторона, лежащая против вершины $A_i$ ($i=1$, 2, 3), $M_i$; — середина стороны $a_i$, $T_i$ — точка касания стороны с окружностью, вписанной в данный…
Рассматриваются последовательности $\{x_n\}$ положительных чисел, удовлетворяющих условию $$ 1=x_0 \ge x_1\ge x_2\ge\ldots\ge x_n\ge\ldots $$
Дан квадрат $K$ со стороной 100. Пусть $L$ — несамопересекающаяся незамкнутая ломаная, лежащая в $K$, такая, что для любой точки $P$ границы квадрата $K$ найдётся точка ломаной $L$, расстояние которой от…
Постройте прямую, параллельную стороне $AC$ данного треугольника $ABC$ и пересекающую его стороны $AB$ и $BC$ в таких точках $D$ и $E$ соответственно, что $|AD|=|BE|$.
Докажите, что если сумма двух натуральных чисел равна $30\,030$, то их произведение не делится на $30\,030$.
Шарообразная планета движется по окружности вокруг звезды и вращается вокруг своей оси, причём ось суточного вращения наклонена к плоскости орбиты под углом $\alpha$ (для нашей Земли $\alpha=66{,}5^\circ$). Найдите зависимость продолжительности $T$ самого короткого дня в году…
Докажите, что для любых натуральных $n$ и $k$ (больших 1) число $n^k$ можно представить в виде суммы $n$ последовательных нечётных чисел.
(Например, $4^3=13+15+17+19$; $7^2=1+3+5+7+9+11+13$; $3^4=25+27+29$.)