Задачи по математике, стр. 74 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задача М731
Двое играют в такую игру: первый называет натуральное число от 2 до 9; второй умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9; затем первый умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и т. д.; выигрывает тот, у кого впервые получится произведение больше
Задача М732
1. В треугольник $ABC$‍‍ вписаны два разных прямоугольника так, что на основании $AC$‍‍ лежат по две вершины каждого прямоугольника (а на сторонах $AB$‍‍ и $BC$‍‍ — по одной). Периметр каждого из прямоугольников равен 10.…
Задача М733
1. При каких натуральных $m$‍‍ число $31^m-1$‍‍ делится на $2^m$‍?‍
2. Докажите, что для любого нечётного $a$‍‍ и натурального $m$‍‍ существует бесконечно много…
Задача М734
Биссектриса угла $A$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ пересекает описанную вокруг него окружность в точке $K$‍.‍ Докажите, что длина проекции отрезка $AK$‍‍ на прямую $AB$‍‍ (или $AC$‍)‍ равна полусумме длин сторон $AB$‍‍ и…
Задача М735
1. Докажите, что круг диаметра 1 нельзя покрыть несколькими бумажными полосками, суммарная ширина которых меньше 1 (рис. 1).
2. Назовём слоем толщины $h$‍‍ часть пространства, заключённого между параллельными плоскостями,…
Задача М736
Медиана $BK$‍‍ и биссектриса $CL$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ пересекаются в точке $P$‍.‍ Докажите равенство $$ \dfrac{|PC|}{|PL|}-\dfrac{|AC|}{|BC|}=1. $$
Задача М737
Обозначим через $d_k$‍‍ количество таких домов в вашем городе, в которых живёт не меньше $k$‍‍ жителей ($d_1\ge d_2\ge d_3\ge \ldots$‍),‍ и через $c_m$‍‍ — количество жителей в $m$‍‍-м по величине населения доме ($c_1\ge c_2\ge c_3\ge \ldots$‍).‍ Докажите равенства
Задача М738
Докажите, что
1. количество прямых различных направлений, на которые данный $n$‍‍-угольник даёт одинаковые по величине проекции, не превосходит $2n$‍;‍
2. максимальное число таких прямых для любого многоугольника чётно;…
Задача М739
Докажите, что при любом значении $x$‍,‍ для которого правая часть имеет смысл, выполнены равенства
1. $$\dfrac{\tg x+\tg\left(x+\dfrac{\vphantom2\pi}3\right)+\tg\left(x+\dfrac{2\pi}3\right)} {\tg x\cdot\tg\left(x+\dfrac{\vphantom2\pi}3\right)\cdot\tg\left(x+\dfrac{2\pi}3\right)}=3;$$
2. $$\dfrac{\tg x+\tg\left(x+\dfrac{\vphantom2\pi}n\right)+\ldots+\tg\left(x+\dfrac{(n-1)\pi}n\right)} {\tg x\cdot\tg\left(x+\dfrac{\vphantom2\pi}n\right)\cdot{\ldots}\cdot\tg\left(x+\dfrac{(n-1)\pi}n\right)}=c_n,$$
где $n$‍‍ — нечётное число, $c_n$‍‍ — константа…
Задача М740
Серёжа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку тётю Люду: «Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?» — «Это очень просто, — отвечала соседка. — Наклони кастрюлю — вот так; постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь…

Задачи по математике‍1465