Прежде всего заметим, что проекция произвольного многогольника $M$ на любую прямую $l$ совпадает с проекцией на эту прямую содержащей его полосы, края которой перпендикулярны $l$ и проходят через вершины многоугольника (рис. 1). Пересечение всех таких полос есть выпуклый многоугольник $M'$. Очевидно, $M'\supset M$, проекции многоугольников $M$ и $M'$ на любую прямую совпадают и число сторон $M'$ не превосходит числа сторон $M$. Поэтому без всякого ущерба можно заменить многоугольник $M$ на $M'$ и в дальнейшем считать данный многоугольник выпуклым.
Фиксируем прямую $l_0$, перпендикулярную одной из сторон данного многоугольника, и обозначим через $l_\phi$ прямую, в которую переходит $l_0$ при повороте на угол $\phi$ против часовой стрелки (центр поворота роли не играет), а через $L(\phi)$ — длину проекции многоугольника на прямую $l_\phi$. В задаче рассматривается число точек $\phi$ на отрезке $[0;\pi]$ (или на любом другом отрезке длины $\pi$), в которых функция $L(\phi)$ принимает одно и то же значение.
а) Проекция данного $n$-угольника на прямую $l_\phi$ совпадает с проекцией на эту прямую некоторого отрезка $I$ — диагонали или стороны $n$-угольника, зависящего, кoнечно, от направления прямой $l_\phi$. При этом смена отрезков $I$ может происходить только при переходе через направления, перпендикулярные сторонам $n$-угольника, поскольку он выпуклый. Следовательно, отрезок $0\le\phi\le\pi$ разбивается на $k$ промежутков, где $k\le n$, на каждом из которых функция $L(\phi)$ совпадает с длиной проекции фиксированного отрезка $I_j$, $j=1$, $\ldots$, $k$, соединяющего вершины данного $n$-угольника. Если отрезок $I_j$ параллелен прямой $l_{\alpha_j}$, а его длина равна $a_j$, то длина проекции этого отрезка на прямую $l_\phi$ (т. е. значение функции $L(\phi)$ на $j$-м промежутке) равна $a_j\mathopen|\cos(\phi-\alpha_j)|$. Поэтому проекция любого из отрезков $I_j$ на прямую $l_\phi$ может иметь заданную длину не более чем при двух значениях $\phi$, $0\le\phi\le\pi$, а количество точек на отрезке $[0;\pi]$, в которых функция $L(\phi)$ принимает любое заданное значение, не больше $2k\le2n$.
Рис. 2
6) Как мы видели, график функции $L(\phi)$ состоит из нескольких кусков синусоид; эскиз такого графика показан на рисунке 2. Отметим, что $L(0)=L(\pi)$.
Пусть функция $L(\phi)$ принимает некоторое значение $L$ в наибольшем числе точек, среди которых имеется $p$ точек максимума и $q$ точек минимума; остальные $m$ точек — «обычные»: в них график функции $y=L(\phi)$ переходит с одной стороны прямой $y=L$ на другую. Число таких переходов чётно, поскольку $L(0)=L(\pi)$. Во всяком случае, это верно, если $L\ne L(0)$. Если же $L=L(0)$, то можно рассматривать функцию $L(\phi)$ на отрезке $\phi_0\le\phi\le\pi+\phi_0$, где $L(\phi_0)\ne L$. При этом числа $p$, $q$ и $m$ не изменятся (точки $0$ и $\pi$ надо считать за одну). Итак, $m$ — чётное число.
Покажем, что $p=q$. Сдвинем прямую $y=L$ вверх на расстояние $\eps$ (рис. 2). Если $\eps$ достаточно мало́, то каждой «обычной» точке пересечения графика функции $L(\phi)$ с прямой $y=L$ будет отвечать одна «обычная» точка на прямой $y=L+\eps$, каждая из $q$ точек минимума как бы «раздвоится», а точки максимума исчезнут. Общее число точек пересечения графика и прямой станет равно $m+2q$, а так как увеличиться оно не может, $m+2q\le m+p+q$, т. е. $q\le p$. Аналогично доказывается, что $q\ge p$. Следовательно, $p=q$, и число $m+p+q$ чётно.
Рис. 3
в) Рассмотрим $\triangle ABC$. Пусть $c$ — его наибольшая сторона, $c\ge b\ge a$ (обозначения см. на рисунке 3). Прямую $l_0$ проведём перпендикулярно стороне $AB$. Направления высот треугольника $ABC$ соответствуют значениям $\phi=0$, $\phi=\alpha$ и $\phi=\pi-\beta$. Поэтому на отрезке $0\le\phi\le\alpha$ проекция треугольника на прямую $l_\phi$ совпадает с проекцией стороны $BC$, т. е. $L(\phi)=L_a(\phi)=a\left|\cos\left(\phi-\left(\dfrac\pi2-\beta\right)\right)\right|$, нa отрезке $[\alpha;\pi-\beta]$ — с проекцией стороны $AB$: $L(\phi)=L_c(\phi)=c\mathopen|\cos\phi|$, а на отрезке $[\pi-\beta;\pi]$ — с проекцией стороны $AC$: $L(\phi)=L_b(\phi)=b\left|\cos\left(\phi-\left(\dfrac\pi2+\alpha\right)\right)\right|$. Если треугольник — тупоугольный или прямоугольный, то $\alpha+\beta=\pi-\gamma\le\dfrac\pi2$, поэтому, как легко проверить, точки максимума функций $L_a(\phi)$ и $L_b(\phi)$ — $\dfrac\pi2-\beta$ и $\dfrac\pi2+\alpha$ — попадают на отрезок $[\alpha;\pi-\beta]$, на котором $L(\phi)=L_c(\phi)$. В этом случае функция $L(\phi)$ сначала возрастает на отрезке $\left[0;\dfrac\pi2\right]$ от $h_c$ до $c$, а затем убывает от $c$ до $h_c$ (рис. 4). Каждое своё значение она принимает не более двух раз. Если $\triangle ABC$ — остроугольный, то $\alpha+\beta\gt\dfrac\pi2$ и максимумы функций $L_a(\phi)$ и $L_b(\phi)$ попадают внутрь отрезков $[0;\alpha]$ и $[\pi-\beta;\pi]$. Поэтому функция $L(\phi)$ имеет три максимума и шесть промежутков монотонности (рис. 5). Поскольку $h_c\le h_b\lt a\le b\le c$, любое значение из интервала $(h_b;a)$ функция $L(\phi)$ принимает не менее четырёх раз — на первых трёх и последнем промежутках монотонности (см. рис. 5). Заметим ещё, что если $h_a\lt a$, то любое значение из интервала $(h_a;a)$ принимается шесть раз — по разу на каждом промежутке монотонности функции $L(\phi)$.
