«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Сумма $n$ чисел, каждое из которых не превосходит по модулю 1, равна $s$. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, что сумма выбранных чисел будет отличаться от $\dfrac s3$ не более чем на $\dfrac13$.
Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $L$, их продолжения пересекают описанную окружность треугольника в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ (рис. 2). Пусть $R$ — радиус описанной, $r$ — радиус…
В основании треугольной пирамиды $PABC$ лежит правильный треугольник $ABC$. Докажите, что если углы $PAB$, $PBC$, $PCA$ конгруэнтны, то пирамида $PABC$ — правильная.
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. Известно, что центры окружностей: вписанной в треугольник $ABK$ и описанной около треугольника $ABC$ — совпадают. Найдите углы треугольника $ABC$.
В мастерской имеется пять различных станков. Обучение одного рабочего работе на одном станке стоит 1000 рублей. С какими наименьшими затратами можно обучить 8 рабочих так, чтобы при отсутствии любых трёх из них все станки могли быть одновременно использованы в работе? Каждый рабочий может…
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $P$ соответственно. Известно, что $$\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}.$$ Докажите, что треугольник $ABC$…
Функция $f(x)$, определённая на отрезке $[0;1]$, такова, что $$ f(0)=f(1)=0\tag1 $$ и $$ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\le f(x)+f(y)\tag2 $$ для всех $x$, $y\in[0;1]$. Докажите, что:
При каких натуральных $n\ge3$ существуют различные натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, такие, что $1\le a_k\le n+1$ для любого $k=1$, 2, $\ldots$, $n$ и все $n$ чисел…
На диагоналях $AC$ и $CE$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ взяты точки $M$ и $N$ соответственно, такие что $$ \frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|CN|}{|CE|}=\lambda. $$ Известно, что точки $B$, $M$ и $N$ лежат на одной…