«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В стране, кроме столицы, больше 100 roродов. Столица страны соединена авиалиниями со 100 городами; каждый из остальных городов соединён авиалиниями ровно с 10 городами. Известно, что из любого города можно (быть может, с пересадками) перелететь в любой другой. Докажите, что можно закрыть…
Из последовательности 1, $\dfrac12$, $\dfrac13$, $\dfrac14$, $\dots$ нетрудно выделить арифметическую прогрессию длины три: $\dfrac12$, $\dfrac13$, $\dfrac16$. Можно ли из этой последовательности выбрать арифметическую прогрессию
Какое наименьшее количество чисел необходимо вычеркнуть из последовательности 1, 2, 3, $\dots$, 1982, чтобы ни одно из оставшихся чисел не равнялось произведению двух других оставшихся чисел?
Внутри выпуклого четырёхугольника, у которого сумма шести попарных расстояний между вершинами (т. е. сумма длин всех сторон и диагоналей) равна $S_1$, расположен другой, для которого эта сумма равна $S_2$.
С замкнутой ломаной $A_1A_2\ldots A_m$, где $m$ нечётно, проделывается такая операция: середины её звеньев соединяются $m$ отрезками через одну (середина $A_1A_2$ — с серединой $A_3A_4$, середина $A_2A_3$ — с серединой…
Через произвольную точку $P$ на стороне $AC$ треугольника $ABC$ параллельно его медианам $AK$ и $CL$ проведены прямые, пересекающие стороны $BC$ и $AB$ в точках $E$ и…
Докажите, что для любых положительных чисел $a$, $b$, $c$ выполнены неравенства $$ a+b+c\le\frac{a^2+b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{c^2+a^2}{2b}\le\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}. $$
Дан параллелограмм $ABCD$, отличный от ромба. Прямая, симметричная прямой $AB$ относительно диагонали $AC$, пересекает в точке $Q$ прямую, симметричную прямой $DC$ относительно диагонали $DB$ (рис. 2). Найдите…
Докажите, что каждое из уравнений
имеет бесконечно много решений в натуральных числах.
Докажите, что сумма квадратов трёх последовательных целых чисел не может быть кубом натурального числа.