«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Найдите отношение сторон прямоугольного треугольника, если известно, что одна половина гипотенузы (от вершины до середины гипотенузы) видна из центра вписанной окружности под прямым углом.
Пусть про отображение $F$ плоскости в…
Пете подарили микрокалькулятор, на котором можно выполнять следующие операции: по любым данным числам $x$ и $y$ вычислить $x+y$, $x-y$, $x+1$ и $\dfrac1x$ (при $x\ne0$). Петя утверждает, что с помощью своего…
Решите в натуральных числах уравнения
Из вершины $P$ тетраэдра $PABC$ проводятся три отрезка $PA'$, $PB'$, $PC'$, перпендикулярные граням $PBC$, $PCA$, $PAB$ и равные по длине площадям этих граней соответственно (направления отрезков…
Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $K$ первой окружности проводятся прямые $KA$ и $KB$, пересекающие вторую окружность в точках $P$ и $Q$ (рис. 2). Докажите, что хорда…
Обозначим через $\sigma (n)$ сумму всех делителей натурального числа $n$ (рис. 3). Докажите, что существует бесконечно много $n$ таких, что
Докажите, что…
Точка $P$ расположена внутри квадрата $ABCD$ так, что $|AP|:|BP|:|CP|=1:2:3$. Найдите $\widehat{APB}$.