Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную вокруг него окружность в точке $K$. Докажите, что длина проекции отрезка $AK$ на прямую $AB$ (или $AC$) равна полусумме длин сторон $AB$ и $AC$.
Пусть для определённости $|AB|\le|AC|$. На стороне $AC$ рассмотрим точку $P$, симметричную $B$ относительно прямой $AK$ (см. рисунок). Очевидно, $|AP|=|AB|$, $|PK|=|BK|$. Из равенства углов $BAK$ и $CAK$ вытекает равенство дуг $BK$ и $CK$, на которые они опираются, а из равенства дуг следует равенство стягивающих их хорд $BK$ и $CK$. Таким образом, $|CK|=|BK|=|PK|$, и поэтому проекция $K'$ точки $K$ на сторону $AC$ является серединой отрезка $CP$. Следовательно,
$$
|AK'|=|AP|+|PK'|=|AB|+\dfrac{|AC|-|AB|}2=\dfrac{|AB|+|AC|}2.
$$
