Задача М735‍‍

Одно из самых. простых решений задачи а) опирается на задачу б), поэтому мы начнём с пространственной задачи.

б) Площадь поверхности части сферы радиуса $r$‍,‍ заключённой между двумя пересекающими сферу параллельными плоскостями, равна $2\pi rh$‍,‍ где $h$‍‍ — расстояние между этими плоскостями‍. Это значит, что площадь части поверхности сферы диаметра 1, содержащейся в слое толщины $h$‍,‍ не больше $\pi h$‍.‍ Поэтому сумма площадей частей сферы, содержащихся в нескольких слоях, не больше $\pi s$‍,‍ где $s$‍‍ — суммарная толщина всех слоёв. А так как $s\lt1$‍,‍ площадь покрытой слоями части сферы меньше площади поверхности всей сферы, равной $\pi$‍.‍ Следовательно, на сфере найдутся непокрытые точки.

а) Рассмотрим круг радиуса 1 как проекцию шара радиуса 1. Каждой полоске поставим в соответствие слой, толщина которого равна ширине полоски (этот слой заключён между двумя плоскостями, перпендикулярными плоскости круга и проходящими через границы полосок). Если бы круг был полностью покрыт полосками, то весь шар был бы покрыт слоями, суммарная толщина которых была бы меньше 1. Но это, по доказанному в пункте б), невозможно.