Докажем, что для каждого натурального $k$ существует ровно одно натуральное $n$ такое, что $$
(n-k+1)^2+(n-k+2)^2+\ldots+(n-1)^2+n^2=(n+1)^2+(n+2)^2+\ldots+(n+k-1)^2.\tag{1}
$$
(Заметьте, что в правой части равенства стоит $k-1$ слагаемых, а в левой — $k$.) Равенство (1) эквивалентно следующим:
$$
\begin{gather*}
n^2=[(n+1)^2-(n-k+1)^2]+[(n+2)^2-(n-k+2)^2]+\ldots+[(n+k-1)^2-(n-1)^2],\tag{2}\\
n^2=k(2n-k+2)+k(2n-k+4)+\ldots+k(2n+k-2),\tag{3}\\
n^2=2k(k-1)n.\tag{4}
\end{gather*}
$$
Таким образом, высказанное утверждение доказано: равенство (1) для натуральных $k$ и $n$ выполняется тогда и только тогда, когда $n=2k^2-2k$. (При переходе от (3) к (4) мы воспользовались тем, что сумма $k-1$ членов арифметической прогрессии $(2n-k+2)+(2n-k+4)+\ldots+(2n+k-2)$ равна $\dfrac{(2n-k+2)(2n+k-2)}{2}=2(k-1)n$). Тем самым мы получили искомую общую формулу. Её можно записать, например, так:
$$
\begin{gather*}
(2k^2-3k+1)^2+(2k^2-3k+2)^2+\ldots+(2k^2-2k)^2=\\
=(2k^2-2k+1)^2+(2k^2-2k+2)^2+\ldots+(2k^2-k-1)^2,
\end{gather*}
$$
где $k$ — произвольное натуральное число. Примеры, приведённые в условии, получаются из неё при $k$, равном 2, 4 и 5.
