На плоскости даны прямая $l$ и две точки $P$ и $Q$, лежащие по одну сторону от неё. Найти на прямой $l$ такую точку $M$, для которой расстояние между основаниями высот треугольника $PQM$, опущенных на стороны $PM$ и $QM$, наименьшее.
Заметим, что основания высот $PK$ и $QH$ треугольника $PQM$ лежат на окружности $c$ с диаметром $PQ$. Рассмотрим два случая.
1) Окружность $c$ имеет одну или две общие точки с прямой $l$. Тогда ясно, что любая из этих точек и является искомой точкой $M$; треугольник $PQM$ прямоугольный и расстояние между основаниями высот равно нулю; точки $K$ и $H$ совпадают с $M$.
2) Окружность $c$ не имеет общих точек с прямой $l$. Тогда нетрудно доказать, что вписанный острый угол, опирающийся на дугу $KH$, равен $90^\circ-\angle PMQ$. Действительно, при любом положении точки $M$ хотя бы одна из точек $K$ или $H$ лежит на стороне треугольника $PQM$, а не на её продолжении; пусть, например, $H$. Тогда $\angle KHP=90^\circ-\angle QMP=\angle KPM=90^\circ-\angle KMP$. Таким образом, хорда $KH$ тем меньше, чем больше угол $QMP$ (рис. 1).
Рис. 1Рис. 2
Остаётся решить такую задачу: найти на прямой $l$ точку $M$, для которой угол $PMQ$ наибольший. Нетрудно догадаться, что точка $M$ должна обладать таким свойством: окружность, проходящая через точки $P$, $Q$ и $M$, касается прямой $l$. Чтобы построить точку $M$, нужно (в случае, если отрезок $PQ$ не параллелен прямой $l$) от точки $C$ пересечения $PQ$ и $l$ отложить на прямой $l$ отрезки $CM_1=CM_2=\sqrt{CP\cdot CQ}$, а затем из полученных точек $M_1$ и $M_2$ выбрать ту, для которой угол $M_1CP$ острый (или прямой). Доказательство, что именно для этой точки угол $PMQ$ максимален, почти очевидно и оставляется читателю (рис. 2).
