Предположим, что нам удалось выложить квадрат $6\times6$ плитками $1\times2$ без «швов». Тогда каждая из десяти прямых, разрезающих этот квадрат на клетки $1\times1$, должна пересекать по крайней мере одну плитку $1\times2$. Нетрудно доказать, что каждая такая прямая пересекает обязательно чётное число плиток. Действительно, она отрезает от квадрата $6\times6$ прямоугольник $6\times{k}$, состоящий из чётного числа клеток $1\times1$; этот прямоугольник содержит некоторое количество целых плиток $1\times2$ и ещё некоторое чётное количество клеток $1\times1$ — половинок плиток, пересечённых прямой (рис. 3).
Но если каждая прямая пересекает не менее двух плиток, то общее число плиток должно быть не меньше $2\cdot10=20$, а их всего 18.
Таким образом, мы доказали, что квадрат $6\times6$ разрезать требуемым образом на плитки нельзя.
В большинстве из присланных писем обсуждается общий вопрос: когда прямоугольник $m\times n$ можно разрезать на плитки $1\times2$ без швов. Легко доказать, что прямоугольники $2\times n$, $3\times n$ и $4\times n$ разрезать таким образом нельзя. Если же $m\ge5$, $n\ge5$ и $mn$ чётно (последнее условие, разумеется, необходимо), то во всех случаях, кроме рассмотренного выше $6\times6$, нужное разбиение существует. Для доказательства достаточно придумать разбиение прямоугольников $5\times6$ и $6\times8$ и заметить, что из разбиения прямоугольника $m\times{n}$ легко получить разбиение прямоугольника $(m+2)\times n$ (рис. 4 и 5).
