Задача М65‍‍

а) Обозначим площадь треугольника с вершинами $X$‍,‍ $Y$‍,‍ $Z$‍,‍ через $s(XYZ)$‍.‍ Пользуясь тем, что отношение треугольников с одинаковыми высотами (или с одинаковыми основаниями) равно отношению оснований (соответственно отношению высот), нетрудно доказать, что $$ s(ACK)=\dfrac1ks(ABK)=\dfrac{k+1}{k^2}s(AEK)=\dfrac{k+1}{k^2+k+1}s(AEC)=\dfrac{k}{k^2+k+1}s(ABC). $$ Точно так же можно доказать, что $$ s(BLA)=s(CMB)=\dfrac{k}{k^2+k+1}s(ABC). $$ Поэтому $$ \dfrac{s(KLM)}{s(ABC)}=1-\dfrac{3k}{k^2+k+1}=\dfrac{(1-k)^2}{k^2+k+1}=\dfrac{(1-k)^3}{1-k^3}. $$

б) Заметим, что при $k=\dfrac12$‍‍ это отношение равно $\dfrac17$‍‍ и каждый из трёх отрезков $AF$‍,‍ $BG$‍,‍ $CE$‍‍ разбит двумя другими в отношении $3:3:1$‍,‍ так что если провести через точки $M$‍,‍ $K$‍,‍ $L$‍‍ ещё три прямые, соответственно параллельные этим отрезкам, то каждая из сторон треугольника $ABC$‍‍ будет разбита в отношении $2:1:1:2$‍.‍

Теперь уже нетрудно из 13 кусков, на которые разрезан треугольник $ABC$‍,‍ собрать 7 равных треугольников (один из них состоит из единственного куска $KLM$‍‍ (рис. 3).