«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В строчку подряд написано 1000 чисел. Под ней пишется вторая строчка чисел по следующему правилу: под каждым числом $A$ первой строчки выписывается натуральное число, указывающее, сколько раз $A$ встречается в первой строчке. Из второй строчки таким же образом…
На сфере радиуса 1 проведена окружность большого круга, которую мы будем называть экватором. Нам будет удобно использовать и другие географические термины: полюс, меридиан, параллель.
Три отрезка с концами на сторонах треугольника, параллельные его сторонам, проходят через одну точку и имеют одинаковую длину $x$ (рис. 1). Найдите $x$, если длины сторон треугольника равны $a$, $b$, $c$.
В городе на каждую площадь выходит не менее трёх улиц. На всех улицах введено одностороннее движение так, что с любой площади можно проехать на любую другую. Докажите, что можно запретить движение по одной из улиц (на участке между двумя площадями) так, что по-прежнему с любой площади можно…
Для каких положительных чисел $a$ верно следующее утверждение: для любой функции $f$, определенной на отрезке $[0,1]$, непрерывной в каждой точке этого отрезка и такой, что $f(0)=f(1)=0$, уравнение $f(x+a)-f(x)=0$ имеет решение?
Какое наибольшее число королей можно расставить на торической шахматной доске $n\times n$, чтобы они не били друг друга? Торическая шахматная доска получается из обычной размером $n\times n$, у которой верхняя и нижняя горизонтали, а также левая и правая вертикали считаются…
На плоскости даны $n$ точек $A_1$, $\ldots$, $A_n$, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Какое наибольшее число отрезков с концами в этих точках можно провести так, чтобы не получилось ни одного треугольника с вершинами в этих…
На поверхности куба с ребром 1 расположена замкнутая ломаная линия. На каждой грани куба находится по крайней мере одно звено ломаной. Докажите, что длина ломаной не меньше $3\sqrt2$.
Докажите, что для любого натурального $n$ выполняются неравенства: $$ n{\left(\!\sqrt[\scriptstyle n~]{n+1}-1\right)}\le 1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n\le 1+n{\left(1-\dfrac1{\!\sqrt[\scriptstyle n~]n}\right)}. $$