«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На отрезке длины 7 можно поставить пять точек (см. рис. 3) так, чтобы для любого $m=1$, 2, $\ldots$, 7 нашлись две из этих пяти точек на расстоянии $m$.
Попробуйте выяснить, какое наименьшее число $k_n$ точек нужно поставить на…
Последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ назовём универсальной для данного $N$, если из неё можно получить вычёркиванием части членов любую последовательность из $N$ чисел, в которую каждое из…
Внутри остроугольного треугольника $ABC$ дана точка $P$ такая, что $\widehat{APB}=\widehat{ABC}+60^\circ$, $\widehat{BPC}=\widehat{BAC}+60^\circ$, $\widehat{CPA}=\widehat{CBA}+60^\circ$. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков $AP$, $BP$, $CP$ (за точку $P$) с…
Докажите, что не существует строго возрастающей последовательности целых неотрицательных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$, для которых при любых $n$ и $m$ выполняется соотношение $$ a_{nm}=a_n+a_m. $$
Докажите, что если в выпуклом многограннике из каждой вершины выходит чётное число рёбер, то в любом сечении его плоскостью, не проходящей ни через одну из его вершин, получится многоугольник с чётным числом сторон.
На полке стоят первые $n$ томов энциклопедии. С ними можно проводить следующую операцию: взять любые три рядом стоящих тома и поставить их между любыми двумя томами, а также в начало или в конец ряда, не меняя при этом порядка этих трёх томов. Можно ли, применив несколько раз…
На шахматной доске размера $99\times99$ отмечена фигура $\mathit\Phi$ (эта фигура будет разной в пунктах а), б) и в)). В каждой клетке фигуры $\mathit\Phi$ сидит жук. В какой-то момент жуки взлетели и сели снова в клетки той же фигуры $\mathit\Phi$; при этом в одну…
Окружность радиуса $R$ разделена точками $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ на четыре равные дуги. Докажите, что сумма четвёртых степеней расстояний от произвольной точки окружности $M$ до точек $A_k$, не зависит…
Даны два натуральных числа $n$ и $m$, $n\gt m$. Докажите, что $n$ можно представить в виде суммы двух натуральных чисел, одно из которых — делитель числа $m$, а другое не имеет с $m$ ни одного общего делителя,…
Из 30 конгруэнтных прямоугольников составлен прямоугольник, подобный исходным. Каким может быть отношение длин сторон этого прямоугольника?