«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ сторона $BC$ параллельна диагонали $AD$, сторона $CD$ — диагонали $BE$, сторона $DE$ — диагонали $AC$ и сторона $AE$ — диагонали $BD$ (рис.…
Число $\dfrac21+\dfrac{2^2}2+\dfrac{2^3}3+\ldots+\dfrac{2^n}n$ представляется в виде несократимой дроби $\dfrac{p_n}{q_n}$.
В таблице размерами $m \times n$ записаны действительные числа, в каждой клетке по числу. В каждом столбце подчёркнуто $k$ наибольших чисел ($k\le m$), в каждой строке — $l$ наибольших чисел ($l\le n$). Докажите, что по крайней мере…
Дано 20 чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{10}$, $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_{10}$. Докажите, что множество из 100 чисел (не обязательно различных) $a_1+b_1$, $a_1+b_2$, $\ldots$,…
Докажите, что нечётное число, являющееся произведением $n$ различных простых множителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно $2^{n-1}$ различными способами.
В данный сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей (рис. 1). Для каждой пары окружностей через точку касания проводится касающаяся их прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
Внутри выпуклого $2n$-угольника взята произвольная точка $P$. Через каждую вершину и точку $P$ проведена прямая. Докажите, что найдётся сторона многоугольника, с которой ни одна из проведённых прямых не имеет общих точек (кроме, быть может, концов…
Дано простое число $p \gt 2$. Для каждого $k$ от $1$ до $p-1$ обозначим через $a_k$ остаток от деления числа $k^p$ на $p^2$. Докажите, что $$ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{p-1}=(p^3 - p^2)/2. $$
Докажите, что центры всех эллипсов, вписанных в данный четырехугольник, лежат на прямой, проходящей через середины диагоналей этого четырехугольника.