Задача М411‍‍

На рисунке 1 заштрихованы три треугольника, подобные $ABC$‍,‍ у каждого из которых одна сторона имеет длину $x$‍.‍

Рассмотрим стороны трёх заштрихованных треугольников, параллельные стороне $AC$‍‍ длины $b$‍;‍ обозначим длины этих сторон через $b_1$‍,‍ $b_2$‍‍ и $b_3$‍.‍ Заметим, что сумма их длин равна $2b$‍‍ ($b=|AC|$‍):‍ $b_1+b_2+b_3=2b$‍,‍ так что $\dfrac{b_1}b+\dfrac{b_2}b+\dfrac{b_3}b=2$‍‍ — сумма коэффициентов подобия этих трёх треугольников равна двум. Поэтому и $\dfrac{x}{a}+\dfrac{x}{b}+\dfrac{x}{c}=2$‍,‍ откуда $$ x=\dfrac{2abc}{ab+bc+ac}. $$