Задача М418‍‍

Для доказательства мы воспользуемся теоремой Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Пусть $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_n$‍‍ — положительные числа. Тогда $$ \dfrac{a_1+a_2+\ldots+a_n}n\ge\sqrt[\scriptstyle n~]{a_1a_2\ldots a_n}, $$ причём равенство достигается лишь в случае, когда все числа равны.

Запишем теорему Коши для чисел 1, $\dfrac12$‍,‍ $\dfrac23$‍,‍ $\dfrac34$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $\dfrac{n-1}n$‍:‍ $$ \dfrac{1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac{n-1}n}{n}\gt\sqrt[\scriptstyle n~]{\dfrac1n}. $$

Перепишем это неравенство так: $$ 1-\left(1-\dfrac12\right)+\left(1-\dfrac13\right)+\ldots+\left(1-\dfrac1n\right)\gt\dfrac{n}{\sqrt[\scriptstyle n~]{n}}. $$ Отсюда получаем одно из нужных нам неравенств: $$ 1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n\lt n\left(1-\dfrac{1}{\sqrt[\scriptstyle n~]{n}}\right)+1. $$

Чтобы доказать второе неравенство, запишем теорему Коши для чисел 2, $\dfrac32$‍,‍ $\dfrac43$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $\dfrac{n+1}n$‍:‍ $$ \dfrac{2+\dfrac32+\dfrac43+\ldots+\dfrac{n+1}{n}}{n}\lt\sqrt[\scriptstyle n~]{n+1}, $$ или $$ 2+\left(1+\dfrac12\right)+\left(1+\dfrac13\right)+\ldots+\left(1+\dfrac1n\right)\gt n\sqrt[\scriptstyle n~]{n+1}, $$ откуда $$ n+\left(1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n\right)\gt n\sqrt[\scriptstyle n~]{n+1}, $$ т. е. $$ 1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n\gt n\left(\sqrt[\scriptstyle n~]{n+1}-1\right). $$