«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Можно ли бесконечный лист клетчатой бумаги разбить на «доминошки» (каждая доминошка покрывает две соседние клетки) так, чтобы каждая прямая, идущая по линии сетки, разрезала пополам лишь конечное число доминошек?
Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$, для которых сумма цифр числа $2^n$ больше суммы цифр числа $2^{n+1}$.
По трём прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.
Найти сумму $$ \phi(0)+\phi\left(\dfrac{1}{n}\right)+\phi\left(\dfrac{2}{n}\right)+\ldots+\phi(1), $$ если $\phi(x)=\dfrac{4^x}{4^x+2}$.
Докажите аналогичное неравенство:
В вершинах правильного $n$-угольника с центром в точке $O$ расставлены числа ($+1$) и ($-1$). За один шаг разрешается изменить знак у всех чисел, стоящих в вершинах какого-либо правильного $k$-угольника с центром…
Треугольник, все стороны которого больше 1 см, назовём «большим». Дан правильный треугольник $ABC$ со стороной 5 см. Докажите, что:
На плоскости даны три окружности одинакового радиуса.
На окружности расположены $n$ действительных чисел ($n\ge3$), сумма которых равна нулю. Одно из этих чисел равно 1.