«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Квадрат расчерчен на $n\times n$ клеток. Двое игроков по очереди обводят по одной стороне одной клетки (дважды обводить одну и ту же сторону нельзя). Кто выиграет при правильной игре, если
Из цифр 1, 2, $\ldots$, 7, взятых в разном порядке, составлены семь семизначных чисел. Докажите, что сумма седьмых степеней нескольких из этих чисел не может равняться сумме седьмых степеней остальных чисел.
Существует ли такая прогрессия из
На сторонах правильного шестиугольника взяты точки $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_6$ (рис. 1). Известно, что три попарно не смежные стороны шестиугольника $A_1\ldots A_6$ ($A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$) определяют треугольник…
На сторонах $AB$ и $CD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ выбираются произвольные точки $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $AF$, $BF$, $CE$ и $DE$…
Докажите, что
можно представить в виде разности двух многочленов, каждый из которых является монотонно возрастающей функцией.
Касательные к описанной вокруг треугольника $ABC$ окружности, проведённые в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PC$
На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т. д.). Может ли случиться так, что через некоторое время все…
Докажите, что для любых положительных чисел $a$, $b$, $c$, $d$ верно неравенство