«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На столе стоят чашечные весы и $n$ гирь различных масс. Гири по очереди ставятся на чашки весов (на каждом шаге со стола берётся любая гиря и добавляется на ту или другую чашку весов).
Плоскость пересекает боковые рёбра правильной четырёхугольной пирамиды в точках, отстоящих от вершины на расстояния $a$, $b$, $c$ и $d$ (рис. 1). Докажите, что $$\dfrac1a+\dfrac1c=\dfrac1b+\dfrac1d.$$
Даны натуральные числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_m$, $y_1$, $y_2$, $\ldots$, $y_n$. Суммы $x_1+x_2+\ldots+x_m$ и $y_1+y_2+\ldots+y_n$ равны между собой и меньше $mn$. Докажите, что в…
На плоскости дано 1000 квадратов со сторонами, параллельными осям координат. Пусть $M$ — множество центров этих квадратов. Докажите, что можно отметить часть квадратов так, чтобы каждая точка множества $M$ попала не менее, чем в один и не более, чем в четыре…
Имеется тысяча билетов с номерами 000, 001, $\ldots$, 999 и сто ящиков с номерами 00, 01, $\ldots$, 99. Билет разрешается опускать в ящик, если номер ящика можно получить из номера этого билета вычёркиванием одной из цифр. Докажите, что
Среди 1977 монет 50 фальшивых. Каждая фальшивая монета отличается от настоящей на 1 г (в ту или другую сторону). Имеются чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс одной и другой чашки. За одно взвешивание про одну выбранную монету нужно узнать, фальшивая она или настоящая. Как это…
Точки $D$ и $E$ делят стороны $AC$ и $AB$ правильного треугольника $ABC$ в отношениях $|AD|:|DC|=|BE|:|EA|=1:2$. Прямые $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что угол…
Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ плоскости таковы, что для любой точки $M$ этой плоскости скалярные произведения векторов $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$ и $\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MD}$ не равны друг другу. Докажите, что $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$. Верно ли…
Докажите равенства