Задача М414‍‍‍

Начнём сразу с задачи б). Пусть $S_1$‍,‍ $S_2$‍,‍ $S_3$‍,‍ $S_4$‍,‍ $S_5$‍‍ — площади треугольников $A_1A_2A_3$‍,‍ $A_2A_3A_4$‍,‍ $A_3A_4A_5$‍,‍ $A_4A_5A_1$‍,‍ $A_5A_1A_2$‍‍ соответственно. Обозначим через $a$‍‍ площадь треугольника $A_1A_2A_4$‍,‍ через $b$‍‍ — площадь треугольника $A_1A_3A_4$‍‍ и через $c$‍‍ — площадь треугольника $A_1A_3A_5$‍.‍ Тогда (см. рис. 6‍—‍8): $$ \colsep{0pt}{\begin{array}{rl} x&{}=S_2+a+S_4;\\ x&{}=S_1+b+S_4;\\ x&{}=S_1+c+S_3. \end{array}} \tag{1} $$

Пусть величины углов $A_2A_1A_3$‍,‍ $A_2A_1A_4$‍,‍ $A_2A_1A_5$‍‍ равны $\alpha$‍,‍ $\beta$‍‍ и $\gamma$‍‍ соответсвенно. Тогда (рис. 9): $$ \colsep{0pt}{\begin{array}{rl} 2S_1&{}=|A_1A_2|\cdot|A_1A_3|\sin\alpha,\\ 2S_4&{}=|A_1A_4|\cdot|A_1A_5|\sin(\gamma-\beta),\\ 2S_5&{}=|A_1A_2|\cdot|A_1A_5|\sin\gamma,\\ 2b&{}=|A_1A_3|\cdot|A_1A_4|\sin(\beta-\alpha),\\ 2a&{}=|A_1A_2|\cdot|A_1A_4|\sin\beta,\\ 2c&{}=|A_1A_3|\cdot|A_1A_5|\sin(\gamma-\alpha), \end{array}} $$ откуда $$ \colsep{0pt}{\begin{array}{c} S_1S_4+bS_5=k[\sin\alpha\sin(\gamma-\beta)+\sin\gamma\sin(\beta-\alpha)],\\ ac=k\sin\beta\sin(\gamma-\alpha), \end{array}} \tag{2} $$ где $k=\dfrac14|A_1A_2|\cdot|A_1A_3|\cdot|A_1A_4|\cdot|A_1A_5|$‍.‍ Легко проверить тождество $$ \sin\alpha\sin(\beta-\gamma)+\sin\beta\sin(\gamma-\alpha)+\sin\gamma\sin(\alpha-\beta)=0. $$ Поэтому, в силу (2), $$ S_1S_4+bS_5-ac=0. \tag{3} $$ Подставляя в соотношение (3) вместо $a$‍,‍ $b$‍‍ и $c$‍‍ их выражения через $x$‍,‍ $S_1$‍,‍ $S_2$‍,‍ $S_3$‍,‍ $S_4$‍‍ и $S_5$‍,‍ получаем: $$ S_1S_4+(x-S_1-S_4)S_5-(x-S_2-S_4)(x-S_1-S_3)=0, $$ и, следовательно, $$ x^2-x(S_1+S_2+S_3+S_4+S_5)+(S_1S_2+S_2S_3+S_3S_4+S_4S_5+S_5S_1)=0. $$ Подставляя в это уравнение $S_1=S_2=S_3=S_4=S$‍,‍ $S_5=\dfrac{3S}2$‍,‍ получим ответ задачи а): $x=4S$‍‍ (см. рис. 10).

Приведённое нами решение задачи б) предложил в 1824 году однофамилец знаменитого Гаусса — «придворный советник» Гаусс (Herr Hofrath Gauss). Оно опубликовано в журнале «Astronomische Berichte», 1824, т. 2, с. 343. В этом решении существенно используется выпуклость исходного пятиугольника. Однако доказанный результат справедлив для произвольного пятиугольника — и не только невыпуклого, но и такого, стороны которого самопересекаются (например, как на рисунке 11). Подробно об этом рассказано в статье А. Лопшица «Задача Мёбиуса и её продолжение»‍, «Квант», 1977, №3.