Задача М417‍‍

Пусть $l_1$‍,‍ $l_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $l_k$‍‍ — звенья ломаной. Спроектируем каждое звено $l_i$‍‍ ломаной на стороны грани, в которой оно лежит; пусть $a_i$‍‍ и $b_i$‍‍ — длины двух проекций звена $l_i$‍.‍ Оценим сумму длин этих проекций.

Рассмотрим проекции ломаной на вертикальное направление (параллельное ребру куба). Поскольку ломаная замкнута и проходит как по верхней, так и по нижней граням куба, сумма длин этих проекций не меньше 2. То же самое верно и для двух других направлений, параллельных ребру куба. Значит, сумма всех длин проекций не меньше шести. А эта сумма равна как раз сумме всех $a_i$‍‍ и $b_i$‍‍ ($i=1$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $k$‍),‍ так что $$ a_1+a_2+\ldots+a_k+b_1+b_2+\ldots+b_k\ge6.\tag{1} $$

Докажем, что из (1) вытекает нужное нам неравенство: $$ \sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+\ldots+\sqrt{a_k^2+b_k^2}\ge3\sqrt2.\tag{2} $$

Это можно сделать алгебраически, но мы приведём простое геометрическое доказательство.

Построим на координатной плоскости ломаную из $k$‍‍ звеньев, длины проекций $i$‍‍-го звена которой равны $a_i$‍‍ и $b_i$‍‍ ($i=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍ $k$‍),‍ с началом в точке $O(0;0)$‍‍ (рис. 3). Из (1) следует, что конец $M(a_1+\ldots+a_k{;}~b_1+\ldots+b_k)$‍‍ этой ломаной лежит выше прямой $a+b=6$‍‍ (или на этой прямой). Расстояние от точки $O$‍‍ до этой прямой равно $3\sqrt2$‍.‍ Ясно, что длина любой ломаной, соединяющей точки $O$‍‍ и $M$‍,‍ не меньше $3\sqrt2$‍‍ — это и есть неравенство (2). Заметим, что оценка $3\sqrt2$‍‍ — точная. Она достигается для сечения куба, перпендикулярного его диагонали и имеющего форму шестиугольника.