Задача М2892‍‍

Остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$‍‍ вписан в окружность с центром $O$‍,‍ а его высоты пересекаются в точке $H$‍.‍ Касательные к окружности ($BHC$‍)‍ в точке $B$‍,‍ к окружности ($AHB$‍)‍ в точке $A$‍‍ и к окружности ($CHA$‍)‍ в точке $C$‍‍ ограничивают треугольник $T_1$‍.‍ Касательные к окружности ($BHC$‍)‍ в точке $C$‍,‍ к окружности ($AHB$‍)‍ в точке $B$‍‍ и к окружности ($CHA$‍)‍ в точке $A$‍‍ образуют треугольник $T_2$‍.‍ Пусть $I_1$‍‍ и $I_2$‍‍ — центры вписанных окружностей треугольников $T_1$‍‍ и $T_2$‍‍ соответственно. Докажите, что либо $HI_1OI_2$‍‍ — параллелограмм, либо точки $H$‍,‍ $I_1$‍,‍ $O$‍,‍ $I_2$‍‍ лежат на одной прямой.