«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Пусть даны точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ и $C_1$, $C_2$, лежащие на одной окружности, а также некоторая окружность $\omega$. Через точки $A_1$ и $A_2$ проведём две окружности,…
Пусть $P=A_1A_2\ldots A_k$ — выпуклый многоугольник на плоскости. Вершины $A_1$, $A_1$, $\ldots$, $A_k$ имеют целые координаты и лежат на одной окружности. Обозначим через $S$ площадь многоугольника $P$. Нечётное…
Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники. Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.
На плоскости расположено нечётное количество городов так, что все попарные расстояния между ними различны. Некоторые пары городов соединены (двусторонними) авиарейсами. Оказалось, что из каждого города выходят ровно два авиарейса, причём это рейсы в два наиболее удалённых города. Докажите, что,…
Доска $8\times8$ разрезана на доминошки (прямоугольники $1\times2$ и $2\times1$).
Петя и Вася по очереди пишут на доске дроби вида $\dfrac1n$, где $n$ — натуральное. Начинает Петя. Петя за ход пишет только одну дробь, а Вася за первый ход — одну, за второй ход — две, и так каждым следующим ходом на одну дробь больше. Вася хочет, чтобы после какого-то…
В стране $n\gt 2022$ городов. Некоторые пары городов соединены прямыми авиалиниями. Назовём распределение авиалиний между двумя компаниями правильным, если в нём не найдётся трёх городов, любые два из которых соединены одной и той же компанией. Оказалось, что правильного распределения…
Даны различные вещественные числа $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $b$. Оказалось, что уравнение $$ (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)=b $$ имеет три различных вещественных корня $c_1$, $c_2$, $c_3$. Найдите корни…
Паша и Вова играют в игру, по очереди зачёркивая клетки доски $3\times 101$. Исходно на доске зачёркнута только центральная клетка. За один ход игрок должен выбрать диагональ (в диагонали может быть 1, 2 или З клетки) и зачеркнуть в ней всё ещё не зачёркнутые клетки. Каждым ходом должна быть…
Дано натуральное число $n$. Попарно различные ненулевые целые числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ таковы, что число $(x+a_1)(x+a_2)\ldots (x+a_n)$ делится на число $a_1a_2\ldots a_n$ при любом целом $x$. Найдите наибольшее возможное…