«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Назовём набор чисел удачным, если его нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написал на доске несколько целых чисел. Докажите, что дети могут дописать к имеющимся ещё одно целое число…
На графике функции $y=x^2$ отметили 1000 различных точек, абсциссы которых — целые числа из отрезка $[0;\ 100000]$. Докажите, что можно выбрать шесть различных отмеченных точек $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$,…
По кругу стоят кувшины с соками, не обязательно одинакового размера. Из любого кувшина разрешается переливать любую часть сока (возможно, нисколько или весь сок) в соседний кувшин справа, так чтобы тот не переполнился и сладость смеси в нём стала равна $10\%$. Известно, что в…
Дано натуральное число $k$. В стране, валюта которой — тугрики, ходят только купюры двух целочисленных достоинств. И покупатель, и продавец имеют достаточно много и тех, и других купюр, но при каждом платеже могут использовать вместе не более $k$ купюр (включая…
Петя красит каждую клетку доски $2m\times2n$ в чёрный или белый цвет так, чтобы клетки каждого цвета образовывали многоугольник. Затем Вася разрезает доску на доминошки (прямоугольники из двух клеток). Петя стремится к тому, чтобы в итоге получилось как можно больше двухцветных доминошек,…
Из пункта $A$, расположенного на одном берегу реки шириной $l$, переправляется на противоположный берег небольшая моторная лодка (рис. 1). Берега реки параллельны друг другу. Скорость течения реки везде одинакова и равна $u$. На…
Ha горизонтальной поверхности находятся два тела: длинная доска высотой $h$ и однородный цилиндр радиусом $R=2h$, которые касаются друг друга (рис. 1). Масса цилиндра равна $M$. Коэффициенты трения между цилиндром и поверхностью, а также между…
В цилиндрическом сосуде, установленном вертикально в поле силы тяжести, под массивным горизонтальным поршнем массой $m=100~\text{кг}$ содержится одноатомный идеальный газ. Над поршнем — вакуум. Поршень находится в равновесии и может перемещаться вдоль стенок сосуда практически без трения.…
В бесконечной электрической цепи, фрагмент схемы которой представлен на рисунке 1, каждая треугольная ячейка содержит три источника с одинаковыми внутренними сопротивлениями $r$, но разными ЭДС $\mathscr{E}$, $2\mathscr{E}$ и $3\mathscr{E}$, причём полярность…