Запись $a\equiv b$ всюду ниже означает, что разность $a-b$ делится на $p$. Мы докажем, что ответ в задаче таков:
$$
\dfrac{C_{2p}^p-2}p+2,
$$
где $C_{2p}^p=\dfrac{(2p)!}{(p!)^2}$ — число всех подмножеств из $p$ элементов множества из $2p$ элементов.
Приведём два разных доказательства.
Первое более элементарно.
Разобьём все $p$-элементные подмножества $A$ множества $\{1,2,{\ldots},p,p+1,{\ldots},2p\}$, отличные от «наименьшего» $B=\{1,2,{\ldots},p\}$ и «наибольшего» $C=\{p+1,{\ldots},2p\}$, на группы по $p$ подмножеств в каждой, следующим образом. Ясно, что если $A\ne B$ и $A\ne C$, то $A\cap B$ и $A\cap C$ непусты. Два подмножества $A$ и $A'$ отнесём к одной группе, если $A\cap C=A'\cap C$ и $A'\cap B$ получается из $A\cap B$ «циклическим сдвигом» по модулю $p$, т. е. если существует $m$, $0\lt m\lt p$, такое что $x\in A\cap B$ $\Leftrightarrow$ $y\equiv x+m\in A'\cap B$. Ясно, что кроме $A$ в ту же группу попадут ещё $p-1$ подмножеств. Обозначим через $s(A)$ сумму элементов в $A$. Пусть $A\cap B$ состоит из $q$ элементов; $q$ одно и то же для всех $A'$ из той же группы, что $A$, причём $s(A')-s(A)\equiv mq$ не делится на $p$, если $A'\ne A$. Поэтому в каждой группе найдётся ровно одно подмножество $A$, для которого $s(A)\equiv0$. Остаётся заметить, что $s(B)\equiv s(C)\equiv0$ и что число групп равно $\dfrac{C_{2p}^p-2}p$.
Второе доказательство ещё красивее, но требует знания комплексных чисел и нетривиальных теорем о многочленах.
Пусть $\lambda$ — один из примитивных корней $p$-й степени из 1, например, $\lambda=\cos\dfrac{2\pi}p+i\sin\dfrac{2\pi}p$. Найдём сумму
$$
\textstyle\sigma=\sum\lambda^{i_1+\ldots+i_p}=\sum\limits_{j=0}^{p-1}n_j\lambda^j\tag1
$$
по всем подмножествам $\{i_1,i_2,{\ldots},i_p\}\subset\{1,2,{\ldots},2p\}$; $n_j$ во второй сумме — число подмножеств, для которых $i_1+i_2+\ldots+i_p\equiv j$. Сумма $\sigma$ — коэффициент при $z^p$ многочлена
$$
\textstyle\prod\limits_{k=1}^{2p}{}(z-\lambda^k)=\left(\prod\limits_{k=0}^{p-1}{}(z-\lambda^k)\right)^2=(z^p-1)^2=z^{2p}-2z^p+1,
$$
поэтому $\sigma=2$. Но тогда из (1) следует, что $\lambda$ — корень многочлена степени $p$
$$
(n_0-2)+n_1z+\ldots+n_{p-1}z^{p-1}=0,
$$
тогда как (поскольку $p$ простое) единственные многочлены с рациональными коэффициентами степени меньше $p$, имеющие корнем $\lambda$, — это
$$
1+z+\ldots+z^{p-1}=0
\tag2
$$
и получающиеся из него умножением на число. Поэтому
$$
n_0-2=n_1=n_2=\ldots=n_{p-1}.
$$
Но $n_0+n_1+\ldots+n_{p-1}=C_{2p}^p$. Отсюда получаем
$$
n_0=\dfrac{C_{2p}^p-2}p+2.
$$
