Задача М1535‍‍

Конечно, в этой задаче предполагается, что ткань нерастяжима, и все расстояния и углы на поверхности куба, о которых говорится в решении, — те же, что и на куске ткани.

а) Разумеется, можно считать, что речь идёт об одном (связном) куске ткани — иначе длину шва, по которому сшиты куски, можно уменьшить. Можно также считать, что отрезки швов, идущие по поверхности куба, прямолинейные.

В каждую вершину должен входить хотя бы один шов — иначе возникнет треугольная «шапочка», которую нельзя без складок уложить на плоскость (строго это можно доказать так: сумма шести красных углов на рисунке 1 — т. е. сумма трёх углов треугольной шапочки — равна $\dfrac{3\pi}2$‍,‍ т. е. на $\dfrac\pi2$‍‍ больше, чем сумма углов плоского треугольника!).

Далее, швы образуют связное множество, — от каждой вершины куба можно дойти до любой другой по шву: иначе на поверхности куба можно было бы выделить кольцо из ткани, по обе стороны которого остаются вершины куба, а такое кольцо не может быть уложено на плоскость (это можно доказать так же, как выше сделано для шапочки: если на поверхности куба имеется замкнутая ломаная линия, то сумма углов «$n$‍‍-угольника» на поверхности куба, который она ограничивает, равна $\pi(n-2)+\dfrac{d\pi}2$‍,‍ где $d$‍‍ — число вершин куба, которые лежат внутри этого $n$‍‍-угольника, а не $\pi(n-2)$‍,‍ как должно быть для плоского $n$‍‍-угольника).

Весь шов разбивается вершинами на несколько отрезков. Объявив некоторую вершину куба $A$‍‍ начальной, поставим в соответствие каждой из остальных 7 вершин $X$‍‍ последний отрезок пути от $A$‍‍ к $X$‍‍ по шву. При этом разным вершинам $X$‍‍ соответствуют разные отрезки, а длина каждого — не меньше 1. (Именно здесь мы используем дополнительное условие пункта а), что шов может «разветвляться» только в вершинах.)

В нашем решении не предполагалось, что швы идут обязательно по рёбрам (как считали некоторые читатели, приславшие решение этого пункта задачи); при этом предположении возможны и другие пути решения.

б) Да, — как это ни удивительно. Мы используем здесь замечательную (кратчайшую!) сеть дорог, связывающую четыре вершины квадрата (рис. 2, а, где $a=\dfrac1{\sqrt3}$‍,‍ $b=1-\dfrac1{\sqrt3}$‍;‍ отмеченные углы равны $120^\circ$‍).‍ Если расположить такие сети на двух горизонтальных гранях куба и добавить одно вертикальное ребро (рис. 2, б), получится шов длиной $$ 1+8a+2b=3+\dfrac6{\sqrt3}=3+2\sqrt3=6{,}4652\ldots $$ По-видимому, это — минимальный возможный шов для получения «развёртки» куба.