«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает какую-нибудь клетку в красный цвет, второй — $k$ (неокрашенных) клеток — в синий цвет, затем снова первый одну (неокрашенную) — в красный, второй — $k$ клеток — в синий и т. д. Первый…
Найдите сумму $$ \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\ldots+\frac{n-1}{n!} $$ (через $k!$ обозначается произведение $1\cdot2\cdot\ldots\cdot k$).
Докажите, что в любой выпуклый многоугольник $M$ можно поместить прямоугольник, площадь которого не меньше $1/4$ площади многоугольника $M$.
Пусть $h_a$, $h_b$, $h_c$ — высоты, а $m_a$, $m_b$, $m_c$ — медианы остроугольного треугольника (проведённые к сторонам $a$, $b$, $c$), $r$ и $R$ —…
Докажите, что при любом натуральном $n$ $$ \dfrac12+\dfrac1{3\sqrt{2}}+\dfrac1{4\sqrt{3}}+\ldots+\dfrac1{(n+1)\sqrt{n}}\lt2. $$
Даны отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ одинаковой длины (точка $B$ лежит внутри угла $AOC$). На них как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не…
Отметим в натуральном ряде числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Среди отмеченных чисел встречаются тройки последовательных чисел, например $$ 72=6^2+6^2,\quad 73=8^2+3^2,\quad 74=7^2+5^2. $$
На окружности расставлены $4k$ точек, занумерованных в произвольном порядке числами 1, 2, $\ldots$, $4k$.
Натуральные числа $a$ и $b$ получаются друг из друга перестановкой цифр. Докажите, что