Задача М762‍‍

Докажите, что для любых положительных чисел $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ выполнены неравенства $$ a+b+c\le\frac{a^2+b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{c^2+a^2}{2b}\le\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}. $$