«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$, а его высоты пересекаются в точке $H$. Касательные к окружности ($BHC$) в точке $B$, к окружности ($AHB$) в точке $A$ и…
Пусть $n$ — нечётное натуральное число. Дана таблица $n\times n$. Расстоянием между двумя клетками таблицы назовём наименьшее число шагов, за которое можно добраться от одной клетки до другой, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетку. Пусть…
На координатной плоскости вершины выпуклого четырёхугольника имеют целые координаты и лежат на графике многочлена с целыми коэффициентами. Докажите, что если диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны, то они равны между собой.
Дан треугольник с различными натуральными длинами сторон $a$, $b$ и $c$. Докажите, что хотя бы одно из чисел $ab+1$, $bc+1$ и $ca+1$ не является полным квадратом.
Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$ (см. рисунок). Пусть $K$ — точка на окружности ($ABC$), диаметрально противоположная точке…
В музее есть 82 монеты. Все они весят одинаково, за исключением одной фальшивой — она легче остальных. В городе живут три сертифицированных эксперта. Каждому из них утром можно принести две группы из равного количества монет, чтобы он их взвесил. Вечером эксперт сообщает своё заключение: либо…
Дан правильный 111-угольник, длина стороны которого равна 1. Докажите, что в нём найдутся две диагонали, длины которых отличаются на 1.
Натуральные числа $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_{120}$ образуют арифметическую прогрессию. Найдите наибольшее возможное количество пар индексов $1\le i\lt j\le 120$ таких, что $a_j$ делится на $a_i$.
На плоскости отмечены 4 вершины квадрата и 2026 точек внутри него. Никакие три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Докажите, что существуют два 1015-угольника с вершинами в отмеченных точках, один из которых лежит строго внутри другого.