Из цифр 1 и 2 составили пять $n$-значных чисел так, что у каждых двух чисел
совпали цифры ровно в $m$ разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел.
Доказать, что $$
\frac{2}{5}\le \frac{m}{n}\le \frac{3}{5}.
$$
Всесоюзная математическая олимпиада (1970 год, 9–10 класс)
Рис. 6. Здесь представлены примеры случаев, когда в неравенствах, указанных в условии задачи, достигается равенство. Один из цветов (например, белый) соответствует цифре 1, а другой (красный) — цифре 2.
Выпишем числа одно под другим. В каждом разряде («столбце») 5 цифр. Из них можно составить 10 (неупорядоченных) пар. По всем $n$ столбцам таких пар будет $10n$. Выясним, сколько среди них таких, которые состоят из одинаковых цифр, т. е. пар $(1,1)$ и $(2,2)$. В каждом столбце таких пар либо 4, либо 6. Поэтому общее количество таких пар не меньше $4n$ и не больше $6n$. С другой стороны, количество таких пар равно $10m$, поскольку при сравнении двух любых чисел по всем $n$ разрядам, по условию, получается ровно $m$ таких пар, а всевозможных пар из 5 чисел — 10.
Итак, $4n\le10m\le6n$, что и требовалось доказать (см. рис. 6).
