«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Пусть $p$ — нечётное простое число. Найдите количество подмножеств $A$ множества $\{1,2,{\ldots},2p\}$ таких, что
На плоскости дан квадрат и невидимая точка $P$. Разрешается провести любую прямую и спросить, по какую сторону от неё (или на самой прямой) лежит $P$. За какое наименьшее число вопросов можно выяснить, лежит ли $P$ внутри квадрата?
Существуют ли
таких, что сумма любых трёх из них — простое число?
На плоскости даны три точки $A$, $B$, $C$. Проведите через $C$ прямую, произведение расстояний до которой от $A$ и $B$ наибольшее. Всегда ли такая прямая единственна?
Докажите, что для любых положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$ , $a_n$ справедливо неравенство $$ a_1+a_2+\ldots+a_n-n\sqrt[\scriptstyle n~]{a_1a_2\ldots a_n}\ge(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_n})^2. $$
Куб с ребром 1 надо обшить (в один слой) куском ткани.
(Напомним, что многоугольник на плоскости ограничен несамопересекающейся замкнутой ломаной.)
Про $n$ чисел, произведение которых равно $p$, известно, что разность между $p$ и каждым из этих чисел — нечётное целое число. Докажите, что все эти $n$ чисел иррациональны.
Прямоугольник $a\times b$ ($a\gt b$) разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что $\dfrac ab\ge2$.
Капитан нашёл Остров Сокровищ, имеющий форму круга. На его берегу растут шесть пальм. Капитан знает, что клад закопан в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот треугольников $ABC$ и $DEF$, где $A$, $B$, $C$,…