Прямоугольник $a\times b$ ($a\gt b$) разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что $\dfrac ab\ge2$.
Пусть наш прямоугольник — $ABCD$. Докажем, что вершина треугольника разбиения не может лежать внутри прямоугольника. Действительно, допустим противное, пусть хотя бы одна вершина внутри прямоугольника существует. Значит, существуют и стороны треугольников разбиения, которые обладают таким свойством: хотя бы один конец этой стороны лежит внутри прямоугольника. Рассмотрим множество $M$ сторон, обладающих этим свойством. По условию задачи, эта сторона для одного из примыкающих к ней треугольников разбиения служит гипотенузой. Тогда катет этого треугольника, выходящий из этой же точки, а следовательно, тоже принадлежащий множеству $M$, будет короче гипотенузы, т. е. короче кратчайшего отрезка множества $M$. Противоречие. Итак, все вершины треугольников разбиения лежат на границе прямоугольника.
Теперь рассмотрим самую длинную из сторон треугольников разбиения; пусть это сторона $m$. Она принадлежит одной из сторон прямоугольника. Действительно, иначе $m$ служила бы катетом для некоторого треугольника, а его гипотенуза была бы ещё длиннее. Пусть $m$ лежит на стороне $AB$ прямоугольника (см. рисунок). Рассмотрим треугольник разбиения, гипотенузой которого служит $m$. Вершина его прямого угла может лежать только на стороне $CD$. Высота этого треугольника равна стороне $BC$. Но высота $h$ прямоугольного треугольника не превышает половины гипотенузы, следовательно, $m\ge2h$, откуда $AB\ge2BC$, что и требуется.
