«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Для каких положительных чисел $a$ верно следующее утверждение: для любой функции $f$, определенной на отрезке $[0,1]$, непрерывной в каждой точке этого отрезка и такой, что $f(0)=f(1)=0$, уравнение $f(x+a)-f(x)=0$ имеет решение?
Какое наибольшее число королей можно расставить на торической шахматной доске $n\times n$, чтобы они не били друг друга? Торическая шахматная доска получается из обычной размером $n\times n$, у которой верхняя и нижняя горизонтали, а также левая и правая вертикали считаются…
На плоскости даны $n$ точек $A_1$, $\ldots$, $A_n$, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Какое наибольшее число отрезков с концами в этих точках можно провести так, чтобы не получилось ни одного треугольника с вершинами в этих…
На поверхности куба с ребром 1 расположена замкнутая ломаная линия. На каждой грани куба находится по крайней мере одно звено ломаной. Докажите, что длина ломаной не меньше $3\sqrt2$.
Докажите, что для любого натурального $n$ выполняются неравенства: $$ n{\left(\!\sqrt[\scriptstyle n~]{n+1}-1\right)}\le 1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n\le 1+n{\left(1-\dfrac1{\!\sqrt[\scriptstyle n~]n}\right)}. $$
В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдётся кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежат не менее 10 из данных точек.
При каких натуральных $m$ и $n$ ($m\lt n$) можно закрасить некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в чёрный цвет так, чтобы любой прямоугольник размера $m\times n$ содержал ровно одну чёрную клетку? Начните с более простой задачи:…
Разбейте произвольный треугольник на семь равнобедренных треугольников, из которых три конгруэнтны между собой.