«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Дан треугольник $ABC$. Найти на стороне $AC$ такую точку $D$, чтобы периметр треугольника $ABD$ равнялся длине стороны $BC$.
Найти сумму $$ \phi(0)+\phi\left(\dfrac{1}{n}\right)+\phi\left(\dfrac{2}{n}\right)+\ldots+\phi(1), $$ если $\phi(x)=\dfrac{4^x}{4^x+2}$.
Докажите аналогичное неравенство:
В вершинах правильного $n$-угольника с центром в точке $O$ расставлены числа ($+1$) и ($-1$). За один шаг разрешается изменить знак у всех чисел, стоящих в вершинах какого-либо правильного $k$-угольника с центром…
Треугольник, все стороны которого больше $1~\text{см}$, назовём «большим». Дан правильный треугольник $ABC$ со стороной $5~\text{см}$. Докажите, что:
На отрезке длины 7 можно поставить пять точек (см. рис. 3) так, чтобы для любого $m=1$, 2, $\ldots$, 7 нашлись две из этих пяти точек на расстоянии $m$.
Попробуйте выяснить, какое наименьшее число $k_n$ точек нужно поставить на отрезке…
Последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ назовём универсальной для данного $N$, если из неё можно получить вычёркиванием части членов любую последовательность из $N$ чисел, в которую каждое из…
Внутри остроугольного треугольника $ABC$ дана точка $P$ такая, что $\widehat{APB}=\widehat{ABC}+60^\circ$, $\widehat{BPC}=\widehat{BAC}+60^\circ$, $\widehat{CPA}=\widehat{CBA}+60^\circ$. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков $AP$, $BP$, $CP$ (за точку $P$) с…
Докажите, что не существует строго возрастающей последовательности целых неотрицательных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$, для которых при любых $n$ и $m$ выполняется соотношение $$ a_{nm}=a_n+a_m. $$